Решение показательных уравнений

Что такое показательные уравнения

В процессе освоения разных тем по алгебре важно научиться решать уравнения. Математические соотношения с неизвестными записывают в разных форматах. Существует несколько основных принципов, позволяющих быстро и корректно справляться с вычислениями. К таким пунктам в алгоритмах относят анализ выражения, определение его типа, выявление неизвестных и, исходя из этой информации, выбор оптимального способа выполнения расчетов. Подобная техника полезна для практических тренировок, сдачи итоговых и промежуточных экзаменов.

Одним из часто встречающихся видов уравнения являются степенные. Во многих информационных источниках можно встретить название показательные уравнения. Определить, что записанное соотношение из чисел или букв относится к данной категории, можно по характерному условию. В таком выражении присутствуют степени и переменная х непосредственно в показателе, а не в степенном основании. Стандартная запись показательного уравнения имеет следующий вид:

\(a^{f(x)}=b^{g(x)}\)

В данном случае под а и b подразумеваются произвольные числа, f(x) и g(x) обозначают некоторые выражения, которые зависят от х. Сделанная выше запись представляет собой обобщенный формат степенных уравнений. Можно рассмотреть особенности этого типа математических соотношений на наглядных примерах:

\(2^x=8\)

\(2^x=2^{2x+1}\)

\(3^{x^2}=2^{x^2-2x+3}\)

При внимательном рассмотрении приведенных выше уравнений можно заметить присутствие в перечисленных примерах степенной функции. В процессе поиска ответов на заданные примеры важно уметь оперировать свойствами, характерными для степени. Кроме того, при работе с показательными равенствами полезно использовать специальные правила для определения численного значения х.  Дополнительно упростить задачу на вычисление степенных уравнений целесообразно путем решения обычных линейных и квадратных равенств. Этот метод подходит, когда требуется упростить сложные математические записи.

Свойства, классификация

В процессе решения заданий на показательные уравнения нередко приходится восстанавливать в памяти теоретический материал и прикладные приемы для работы со степенями. Особый интерес в данном контексте представляют следующие свойства:

\(a^{0}=1\)

\(x = {-a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\((a^{x})^{y}=a^{xy}\)

\((ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}\)

\(a^{x} / b^{x} = (a/b)^{x}\)

По итогам исследования степенного уравнения необходимо иметь представление о том, к какому виду заданное выражение можно отнести. Принято выделять следующие типы показательных соотношений:

• включают в состав показательные функции с одинаковым основанием;
• состоят из показательных функций, обладающих неодинаковыми основаниями.

Методы решения показательных уравнений

Отдельно стоит выделить максимально простые показательные уравнения, решение которых занимает буквально несколько строк. Рассмотреть способ вычисления ответа на подобные задания целесообразно на конкретных примерах с объяснением последовательных действий. Представим, что требуется найти решение следующего уравнения:

\(2^x=8\)

Заметим, что неизвестная величина записана в показателе. Допустимо заключить, что выражение относится к категории показательных. Если прибегнуть к логическим рассуждениям, то для получения числа 8 в итоге требуется возвести число 2 в некоторую степень. Этой степенью является число 3. Таким образом:

х = 3.

Попробуем проанализировать ход действий при вычислении ответа к более сложному равенству:

\(3^{4x-1}=\frac{1}{9}\)

После формулировки вывода о том, что предстоит иметь дело с показательным уравнением, можно приступить к преобразованию правого сегмента уравнения:

\(\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}\)

Заметим, что степень записана со знаком минуса. Это обстоятельство дает право на применение характерного свойства степени:

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

После некоторых манипуляций с компонентами исходного равенства получим следующий результат:

\(3^{4x-1}=3^{-2}\)

В обеих частях итогового выражения присутствуют степенные функции. Основания рассматриваемых функций обладают одинаковым значением, равным 3. Однако имеется отличие в значении степеней. Исходя из логических размышлений, получим при равенстве степеней и оснований данного соотношения справедливое уравнение. Таким образом:

4x-1=-2

В результате степенное уравнение сведено к обычному линейному соотношению, которое решается достаточно просто. Остается лишь выразить неизвестное и вычислить окончательный ответ:

4х=−2+1

4x=−1

\(x=-\frac{1}{4}\)

Разберем еще один пример, который часто встречается в разнообразных контрольных работах. Предположим, что показательное уравнение с неизвестным х имеет следующий вид:

\(2^x=-4\)

Здесь важно проявить внимательность. По свойству степеней известно, что для показательной функции не существует отрицательных значений. В действительности при возведении числа 2 в любую степень ответ всегда будет неотрицательным. По этой причине уравнение не имеет корней.

Далее, когда смысл манипуляций с компонентами в процессе решения степенного уравнения понятен, целесообразно перейти к разработке обобщенной методики для подобных выражений. Универсальный прием подходит для поиска корней математических соотношений, записанных в виде:

\(a^x=b\)

Здесь a>0 и b>0, то есть являются положительными. При выполнении обозначенных условий допустимо приступить к преобразованию записанного выражения. В итоге необходимо получить соотношение в формате, удобном для выполнения расчетов. При этом с правой и с левой сторон должны быть расположены степенные функции, обладающие идентичными основаниями. То есть, следуя озвученному алгоритму, необходимо выразить b через показательную функцию:

\(b=a^m\)

В результате несложных преобразований исходное соотношение примет такой вид:

\(a^x=a^m\)

Заметим, что полученные степенные функции имеют идентичные основания. В таком случае целесообразно поставить между степенями данных функций знак равенства:

х = m

Перепишем алгоритм в сокращенную пошаговую инструкцию, которую можно использовать в качестве основы при работе с задачами на поиск корней показательных уравнений:

• преобразование уравнения в формат со степенными функциями, которые имеют одинаковые основания и расположены по обеим сторонам от знака равенства;
• приравнивание степеней полученных функций;
• запись ответа.

Стоит отметить, что преобразование степенных уравнений нередко занимает больше, чем несколько строк. Встречаются примеры с такими выражениями, на приведение в нужных формат которых придется потратить массу сил и времени. Однако на этот случай предусмотрено несколько эффективных приемов. По этой причине следует ознакомиться с применением таких способов на практике. Рассмотрим типичное задание на вычисление корней показательного уравнения с помощью замены.

\( 9^x-5*3^x+6=0\)

В первую очередь потребуется преобразовать степенное выражение путем записи идентичных оснований для показательных функций. Справиться с этой задачей несложно, если заметить, что:

\(9=3^2\)

\(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\)

В данном случае пригодилось свойство степеней, а именно:

\((a^n)^m=a^{n*m}\)

На следующем этапе воспользуемся способом подстановки и продолжим преобразование соотношения:

\((3^x)^2-5*3^x+6=0\)

Заметим наличие переменной х в функции \(3^x\). Выполним следующую замену:

\(t=3^x, \; t>0\)

Продолжим вычисления с простым квадратным уравнением, корни которого быстрее всего получится найти с помощью дискриминанта:

\(t^2-5t+6=0\)

\(D=5^2-4*6=25-24=1 \Rightarrow t_{1}=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3 \Rightarrow t_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2\)

На данном этапе полезно выполнить простую проверку, а именно, убедиться в положительном значении для каждого из найденных корней. В рассматриваемом случае это условие выполнено в полной мере, то есть для всех полученных решений. Исходя из сделанного вывода, допустимо приступить к обратной замене и решить пару обычных степенных уравнений:

\(3^x=3\)

\(3^x=3^1\)

х = 1

\(3^x=2\)

\(3^x=3^{log_{3}(2)}\)

\(x=log_{3}(2)\)

Отдельно стоит рассмотреть порядок решения однородных степенных выражений. Подобные соотношения несложно встретить в заданиях с повышенным уровнем сложности, так как варианты поиска корней в таких случаях не очевидны. Сложность, как правило, заключается в методах преобразования показательных функций для приведения их к виду с идентичными основаниями. Разберем типичный пример:

\(7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x}\)

Заметим, что математическое соотношение содержит степенную функцию с основанием 77 и еще одну степенную функцию, основание которой соответствует 33. Не стоит тратить время на длительный подбор способов приведения рассматриваемых функций к единому основанию. Можно сразу приступить к операции деления. Попробуем разделить представленное соотношение на \(3^x\). В результате получим:

\(7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} \; \; :3^x\)

\(\frac{7^{x+1}}{3^x}+\frac{3*7^{x}}{3^x}=\frac{3^{x+2}}{3^x}+\frac{3^{x}}{3^x}\)

Вновь применим уже знакомые из теоретического курса свойства степеней, а именно:

\(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)

\(a^n*a^m=a^{n+m}\)

\(\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n\)

Разберем каждое из слагаемых по отдельности, чтобы не допустить ошибки в процессе записи преобразованных выражений в исходное соотношение:

\(\frac{7^{x+1}}{3^x}=\frac{7*7^x}{3^x}=7*\frac{7^x}{3^x}=7*(\frac{7}{3})^x\)

\(\frac{3*7^{x}}{3^x}=3*\frac{7^x}{3^x}=3*(\frac{7}{3})^x\)

\(\frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*\frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9\)

\(\frac{3^{x}}{3^x}=1\)

Путем подстановки трансформируем начальное математическое соотношение и представим его в более удобном для дальнейших вычислений виде:

\(7*(\frac{7}{3})^x+3*(\frac{7}{3})^x=9+1\)

На этом этапе решение уже более очевидно, чем в самом начале. Здесь получена общая степенная функция. Как и в предыдущем примере, лучше прибегнуть еще к одной замене, а именно:

\(t=(\frac{7}{3})^x\)

Продолжим расчеты:

7t+3t=10

10t=10

t=1

С помощью обратной замены получим следующее соотношение:

\((\frac{7}{3})^x=1\)

Заметим, что путем преобразований получена еще одна возможность для применения свойства степенной функции, то есть:

\(1=(\frac{7}{3})^0\)

\((\frac{7}{3})^x=(\frac{7}{3})^0\)

х = 0

Примеры решения

Решение

\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

\(27 = 3^3\)

\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

\(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\)

\(((a^b )^c=a^{bc}\)

\({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\)

\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

\(a^b·a^c=a^{b+c}\)

\(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\)

\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

\(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\)

\(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\)

\(3^{x+0,5}=(3^{-1} )^{2x}\)

\((a^b )^c=a^{bc}\)

\((3^{-1} )^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\)

\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)

x+0,5=-2x

Ответ: \(x=-\frac{1}{6}\)

Решение

\(2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160\)

\(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\)

\(2^x \cdot 2^3+2^x \cdot 2^2-2^x \cdot 2^1=160\)

\(2^x (2^3+2^2-2^1 )=160\)

\(2^x (8+4-2)=160\)

\(10 \cdot 2^x=160\)

\(2^x=16\)

\(2^x=2^4\)

Ответ: 4.

Решение

\(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)

\(а^b \cdot a^c=a^{b+c}\)

\(4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0\)

\(4=2^2\)

\((2^2 )^x·(2^2 )^{0,5}-5·2^x+2=0\)

\((2^2 )^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x )^2\)

\((2^2 )^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2\)

\(2·(2^x )^2-5·2^x+2=0\)

\(t=2^x\)

\(2t^2-5t+2=0\)

\(t_1=2\)

\(t_2=\frac{1}{2}\)

\(2^x=2\)

\(2^x=\frac{1}{2}\)

\(2^x=2^1\)

\(2^x=2^{-1}\)

\(x_1=1\)

\(x_2=-1\)

Ответ: -1; 1.