Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Что значит преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Например, квадратный корень из числа 25 записывается как √25 = 5.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни, включает в себя различные математические операции для упрощения и удобства работы с такими выражениями.

Правила преобразования, формулы

Чтобы преобразовать выражение, содержащее квадратный корень, мы находим коэффициенты числа и группируем их в пары.
Например, число 16 имеет 4 коэффициента, поэтому из каждой пары берем цифру два и ставим ее перед радикалом, в итоге отбросив, то есть √16 = √(2 x 2 x 2 x 2) = 4.

Упрощение квадратного корня из числа включает в себя два метода.

1. Нахождение квадратного корня методом деления. Обычно подразумеваем метод длинного деления.

В этом методе необходимо найти наибольшую мощность переменной в заданном многочлене. Рассмотрим это на примере:

Дано выражение 36x4 - 36x2 + 9 .

Теперь наибольшая сила переменной x равна 4.

Значит, квадратный корень из выражения будет равен x2, так как;

√x⁴ = x².

√36x⁴ = 6x².

Поскольку 6x2 — это единственный член, или мономерия, то при умножении на 2 получается 12x2. Таким образом, первый член, который теперь нужно разделить, будет -36x2, и при делении -36x2 на 12x2 мы получим -3.

Теперь нам нужно умножить 12x2 - 3 на 3, чтобы получить -36x2 + 9.

Остаток обратился в ноль, и данное выражение делится на 6x2 - 3.

Значит, квадратный корень из 36x4 - 36x2 + 9 будет равен 6x2 - 3.

2. Нахождение квадратного корня методом факторизации (разложение на множители)
При использовании метода факторизации мы используем теорему о факторах. Теорема факторов гласит, что если алгебраическое выражение f(x) делится на x = p и остаток равен нулю, то f(p) = 0 или (x - p) будет фактором f(x).

Теорема о коэффициентах прямо противоположна теореме об остатке, и мы можем сказать, что если f(x) делится на (x - p), то остаток будет равен f(p).

Рассмотрим пример:

Найдите квадратный корень выражения:

(b + 1/b)² + 4(b + 1/b) + 4.

Решение: Рассмотрим b + (1/b) как a.

Подставив значение «a» в данное уравнение, получим a2 + 4a + 4.

Данное уравнение имеет вид: (a + 2)² и один из его коэффициентов — (a + 2)

Значит, квадратный корень из данного выражения будет b + (1/b) + 2.

Примеры решения задач

Решение: Пусть f(x) = x3 - 3x + 2

Расставив заданное уравнение, получим:

x3 - 3x + 2 = x2 (x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1)

= (x2 + x - 2)(x - 1)

= (x + 2)(x - 1)(x - 1)

= (x + 2)(x - 1)2

Чтобы найти корни f(x), положим f(x) = 0 ⇒ (x + 2)(x - 1)2 = 0

Ответ: Три корня данного уравнения будут равны 1, 1 и -2.

Решение: Запишите выражение этой задачи, квадратный корень из суммы n и 12 равен 5.
√(n + 12) = квадратный корень из суммы.

√(n + 12) = 5
Теперь нужно решить уравнение: √(n + 12) = 5
Каждая сторона уравнения возводится в квадрат:
[√(n + 12)]² = 5²
[√(n + 12)] x [√(n + 12)] = 25
√[(n + 12) x √(n + 12)] = 25
√(n + 12)² = 25
n + 12 = 25

Вычтите 12 из обеих сторон выражения:
n + 12 - 12 = 25 - 12
n + 0 = 25 - 12
Ответ: n = 13.

Решение: Возьмем корни в виде α и β.

Итак, возьмем β как x, умноженное на α, ⇒ β = αx

Мы знаем, что α + β = -b/a и αβ = c/a.

Подставив значение αx на место β, получим:

α + αx = -b/a и α × αx = c/a

⇒ α(1+x) = -b/a и α2 x = c/a

⇒ α =-b/(a(1+x)) и α2 = c/ax

Возведя в квадрат первый член и приравняв ко второму, получаем:

(-b / a(1+x))² = c / ax

⇒ (b² / a²(1+x)) = c / ax

⇒ b² * a * x = a² * (1+x) * c

⇒ xb² = ac(1+x).

Ответ: Итак, это условие для x в терминах a, b и c.

Решение: 1. Аргумент 4500 имеет коэффициенты 5, 9 и 100. Теперь можно вычислить его квадратный корень. Вычислите квадратный корень из совершенных квадратных чисел

√4500 = √(5 x 9 x 100) = 30√5.

2. Число 72 равно 2 x 36, а так как 36 — совершенный квадрат, вычислите его квадратный корень.

√(2 x 36) = 6√2.

Решение: Пусть a — общий корень уравнений.

Тогда a будет удовлетворять обоим уравнениям.

Таким образом:

3a2 -2a + p = 0 ...(i)

6a2 -17 a + 12 = 0...(ii)

Решив (ii) по квадратичной формуле, получим a = 3/2 и a = 4/3

Подставьте значение a в (i), чтобы получить p.

Ответ: при a = 3/2 получаем p = -15/4;

при a = 4/3 получаем p = -8/3.

Решение:

(√20 × √5) / √2

(√(2 × 2 × 5) × √5) / √2

(√2 × √2 × √5 × √5) / √2

√2 × √5 × √5
√2 × 5
5√2.

Сначала 2√12:

2√12 = 2 × 2√3 = 4√3
Теперь оба члена имеют √3, и мы можем их сложить:

4√3 + 9√3 = (4+9)√3 = 13√3.

Решение: Мы знаем, что |x| = ±x

[|x| = x для x>0, |x| =-x для x<0 и |x| = 0 при x = 0].
Подставляя отрицательное значение x, получаем:

x2 - 6(-x) + 8 = 0

⇒ x2 + 6x + 8 = 0

⇒ x2 + 2x + 4x + 8 = 0

⇒ х(х + 2) + 4(х + 2) = 0

⇒ (x + 4)(x + 2) = 0

Таким образом, корни этого уравнения будут равны -2, -4.

Снова взяв положительное значение x, мы получим:

x2 - 6x + 8 = 0

⇒ x2 - 2x - 4x + 8 = 0

⇒ x(x - 2) - 4(x - 2) = 0

⇒ (x - 4)(x - 2) = 0

Корнями этого уравнения будут 2, 4.

Ответ: Таким образом, общие корни уравнения x2 - 6|x| + 8 = 0 будут равны ±2, ±4.