Свойства прямой пропорциональности, область определения и значения

Прямая пропорциональность — базовые понятия

Пропорциональность бывает двух видов:

• прямая;
• обратная.

Если автомобиль движется в течение еще одного часа с такой же скоростью 50 км/ч, то он преодолеет расстояние в 100 км.

Согласно примеру, увеличение времени в 2 раза сопровождается увеличением пройденного расстояния во столько же раз, то есть в 2 раза. Величины времени и расстояния будут прямо пропорциональными. Они обладают взаимосвязью, которую называют прямой пропорциональностью.

Предположим, что вначале водитель планировал проехать 100 км за 2 часа, но после того, как он преодолел 50 км, произошла остановка. В таком случае, уменьшая расстояние в 2 раза, получим, что время уменьшится тоже в 2 раза.

Особенностью прямо пропорциональных величин является стабильность их отношений. Таким образом, во время изменения значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается постоянным. Рассмотренная ситуация характеризуется изменением расстояния с 50 км при значении времени в 1 час. Отношение расстояния ко времени равно 50 и определяется формулой:

\(\frac{50}{1}=50\)

После увеличения времени движения автомобиля в 2 раза, оно составит 2 часа. Таким образом, расстояние также увеличилось в 2 раза до 100 км. Отношение 100 км к 2 часам равно числу 50:

\(\frac{100}{2}=50\)

Число 50 представляет собой коэффициент прямой пропорциональности. Эта величина демонстрирует, какое расстояние соответствует одному часу движения. В условиях рассматриваемого примера данный коэффициент является скоростью движения автомобиля, исходя из ее определения.

С помощью прямо пропорциональных характеристик можно составлять пропорции. Например, записанные ранее отношения составляют пропорционально:

\(\frac{50}{1}=\frac{100}{2}\)

Представленное выражение читают таким образом: 50 км так относятся к 1 часу, как 100 км относятся к 2 часам.

Линейное уравнение относительно двух переменных x и y имеет такой вид:

ax + by + c = 0

\(a\neq 0\)

\(b\neq 0\)

Известно, что график записанного равенства является прямая линия, любая точка на которой имеет два числа в виде координат x и y, то есть абсциссы и ординаты. Каждая точка этой прямой соответствует заданному уравнению. Если выразить y через x, получим:

by = -ax - c

Принимая во внимание, что \(b\neq 0\), можно поделить на него две части выражения:

\(y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)

Сделать уравнение более удобным можно с помощью следующих обозначений:

\(-\frac{a}{b}=k\)

\(-\frac{c}{b}=m\)

Таким образом:

y = kx + m

Данным способом была выведена линейная функция y от x в общем виде. В этом случае были применены новые обозначения:

• x — в виде независимой переменной или аргумента;
• y — представляет собой зависимую переменную или функцию;
• k и m — являются параметрами, полностью и однозначно определяющими конкретную линейную функцию.

В том случае, когда m = 0, уравнение примет вид:

y = kx

Данная функция представляет собой прямую пропорциональность. Она определяется с помощью единственного параметра k.

Исследование функции прямой пропорциональности и ее график

Число k представляет собой коэффициент пропорциональности. Переменная y пропорциональна переменной x. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции

 y = kx + m, если m=0

График прямой пропорциональности изображают в виде прямой, которая пересекает начало координат или точку O (0;0). Для того чтобы построить график прямой пропорциональности, требуется взять одну точку, вторая – будет точкой O.

Прямая пропорциональность характеризуется следующими свойствами:

• областью определения является множество действительных чисел: D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R);
• областью значений является множество действительных чисел: D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R);
• нуль функции (y=0) при x=0;
• если k>0, функция y = kx возрастает, а при k<0 — убывает;

Если k>0, график функции пересекает первую и третью координатные четверти. Функция будет обладать положительными значениями, если значения аргумента положительные:

y > 0 при x > 0.

Функция будет обладать отрицательными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y < 0 при x < 0.

Если k < 0, то функция будет иметь график, проходящий через вторую и четвертую координатную четверть. Функция будет характеризоваться положительными значениями, если значения аргумента отрицательные:

y > 0 при x < 0.

Функция будет характеризоваться отрицательными значениями, если значения аргумента положительные:

y < 0 при x > 0.

Величина k представляет собой угловой коэффициент прямой y = kx. С другой стороны, k является тангенсом угла α, образованного прямой и положительным направлением оси Ох.

В качестве примера можно рассмотреть такие функции:

• y = 2x в виде прямой пропорциональности;
• y = 2x + 1 в виде линейной функции;
• y = 2x – 1 в виде линейной функции.

Можно построить график рассматриваемых функций. Каждая из них обладает коэффициентом k = 2. Для первой функции m = 0, для второй: m = 1, для третьей: m = -1. Данные величины вытекают из стандартной записи линейного уравнения:

y = kx + m

Необходимо представить данные в виде таблицы:

График примет такой вид:

Прямые, которые были построены, параллельны. Это объясняется равенством их угловых коэффициентов. Согласно теореме, если y = kx является графиком прямой пропорциональности, тогда график y = kx + m будет ему параллелен, так как коэффициентом k определяется угол наклона к оси x, и данный коэффициент y функций будет обладать равными значениями.

Примеры задач на прямую пропорциональность

Задача 1

Требуется определить соотношение между угловыми коэффициентами, согласно графику:

Решение:

\(k_{1}=\frac{y_{1}}{x}\)

\(k_{2}=\frac{y_{2}}{x}\)

x = x;

\(y_{1}> y_{2}\)

Таким образом:

\(k_{1}>k_{2}\)

Ответ: \(k_{1}>k_{2}\)

Задача 2

Требуется построить график прямой пропорциональности при том, что на данном графике есть точка с координатами (2;8).

Решение:

Построить прямую можно через пару точек. Первая будет обладать координатами (0;0), исходя из того, что любой график прямой пропорциональности пересекает точку (0;0). Вторая точка дана в условии задачи (2;8).

Задачу можно решить другим способом. Согласно координатам точки (2;8), получим:

x=2 и y=8

Данные выражения подходят для уравнения вида:

y = kx

Можно подставить известные значения и определить k:

8 = 2k

k = 4

Таким образом, уравнение примет вид:

y = 4x

С помощью данного уравнения можно построить график: