Чему равен радиус вписанной окружности

Вписанная окружность — в какую фигуру нельзя вписать

Для решения геометрических задач можно использовать различные формулы и приемы, которые помогут облегчить поиск искомых показателей. Один из способов найти различные неизвестные в многогранной фигуре – сделать это через вписанную окружность.

Вписанная в фигуру окружность, например, в треугольник или многоугольник, будет касаться всех его сторон. Это главное свойство окружности, которая будет называться вписанной. Сама фигура в таком случае называется описанной вокруг окружности.

Окружность точно можно вписать в следующие геометрические фигуры:

• треугольник;
• выпуклый правильный многоугольник;
• квадрат;
• равнобедренная трапеция;
• ромб.

При этом окружность в данные фигуры может быть вписана лишь единожды.

Четырехугольник является неоднозначной фигурой при процессе вписывания в нее окружности. Для того, чтобы окружность была вписанной в четырехугольник, суммы длин его противоположных сторон должны быть равны.

Окружность точно нельзя вписать в следующие геометрические фигуры:

• прямоугольник;
• параллелограмм (если он не является ромбом).

Ни один из видов данных фигур не сможет иметь вписанную окружность, так как она не сможет соприкасаться со всеми их сторонами, что является главным признаком вписанной окружности.

Теорема о вписанной окружности

Теорема о вписанной окружности гласит, что в любой треугольник и в любой выпуклый многоугольник и четырехугольник с равными суммами длин противоположных сторон можно вписать окружность, но только одну.

Правило о центре вписанной окружности

Центр окружности при этом будет находиться в точке пересечения биссектрис фигуры. Чтобы определить центр, нужно построить биссектрисы из каждого угла и найти пересечение.

Формула нахождения радиуса вписанной окружности

Вычисление радиуса вписанной окружности ведется по формулам, которые зависят от фигуры и известных данных. Главным условием является тот факт, что фигура должна подходить под список тех, в которые можно вписать окружность.

Треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник через все стороны:

\(r=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}p},\)

где r — радиус,

a, b и c — стороны треугольника,

p — полупериметр, \(p=\frac{a+b+c}2.\)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник через сторону и высоту:

\(r=\frac{b\times h}{b+\sqrt{4\times h^2+b^2}},\)

\(r=\frac{h\times\sqrt{a^2-h^2}}{a+\sqrt{a^2-h^2}},\)

где r — радиус,

a и b — стороны треугольника,

h — высота.

Равносторонний треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:

\(r=\frac a{2\sqrt3},\)

где r — радиус,

a — сторона треугольника.

Равнобедренный треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник через значения сторон:

\(r=\frac b2\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}},\)

где r — радиус,

a и b — стороны треугольника.

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник через сторону и угол:

\(r=A\times\frac{\sin\left(a\right)\times\cos\left(a\right)}{1+\cos\left(a\right)}= A\times\cos\left(a\right)\times\tan\left(\frac a2\right),\)

\(r=\frac b2\times\frac{\sin\left(a\right)}{1+\cos\left(a\right)}=\frac b2\times\tan\left(\frac a2\right),\)

где r — радиус,

A и b — стороны треугольника,

a — угол при основании.

Прямоугольный треугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

\(r=\frac{a\times b}{a+b+c}=\frac{a+b-c}2,\)

где r — радиус,

a и b — катеты треугольника,

c — гипотенуза.

Равнобедренная трапеция

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренную трапецию:

\(r=\frac h2=\frac{\sqrt{c\times b}}2,\)

где r — радиус,

с — нижнее основание,

b — верхнее,

а — боковые стороны,

h — высота.

Квадрат

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в квадрат:

\(r=\frac a2,\)

где r — радиус,

а — сторона квадрата.

Ромб

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через значения диагоналей:

\(r=\frac{D\times d}{4\times a}=\frac{D\times d}{2\sqrt{D^2+d^2}}.\)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через значения стороны и угла:

\(r=\frac{a\times\sin\left(a\right)}2.\)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через диагональ и угол:

\(r=\frac d2\times\cos\left(\frac a2\right)=\frac d{2\sqrt2}\times\sqrt{1+\cos\left(a\right)},\)

\(r=\frac D2\times\sin\left(\frac a2\right)=\frac D{2\sqrt2}\times\sqrt{1-\cos\left(a\right)}.\)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через диагональ и сторону:

\(r=\frac{D\sqrt{a^2-{\displaystyle\frac{D^2}4}}}{2a},\)

\(r=\frac{d\sqrt{a^2-{\displaystyle\frac{d^2}4}}}{2a}.\)

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в ромб через высоту:

\(r=\frac h2,\)

где r — радиус,

а — сторона ромба,

D — большая диагональ,

d — меньшая диагональ,

a — острый угол,

h — высота.

Многоугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник:

\(r=\frac a{2\times\tan\left({\displaystyle\frac{180^\circ}N}\right)},\)

где r — радиус,

N — количество сторон многоугольника.

Шестиугольник

Формула нахождения радиуса окружности, вписанной в шестиугольник:

\(r=\frac{\sqrt3}2\times a,\)

где r — радиус,

a — сторона шестиугольника.