О тригонометрических неравенствах: понятие, типы и особенности решения

Что такое тригонометрические неравенства

Тригонометрические функции обозначаются как:

• sin α;
• cos α;
• tg α;
• ctg α.

При доказательстве тригонометрических неравенств применяют общие приемы доказательства алгебраических неравенств.

При этом в тригонометрии спектр применяемых математических методов богаче.

К ним относятся:

• метод от обратного;
• аналитико-синтетический метод;
• методы математического анализа;
• метод математической индукции;
• элементы геометрии;
• векторная алгебра;
• графический метод.

Виды тригонометрических неравенств

Неравенства в тригонометрии подразделяются на два вида:

• простейшие;
• сложные.

По однородности они делятся на два типа:

• однородные;
• неоднородные.

В однородных неравенствах у всех слагаемых степень одинакова по сумме.

Примеры таких неравенств:

• \(\left(x-2\right)^4-8x^2{(x-2)}^2+7x^4<0{(x-2)}^4-10x^2{(x-1)}^2+9x^4<0\);
• \(6^x-2\cdot4^x\cdot5^x+25^x\geq0;\)
• \(a\;\sin^2\left(x\right)+b\;\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)+c\;\cos^2\left(x\right)\geq0.\)

В неоднородных — степени слагаемых будут отличаться друг от друга.

Простейшие

Простейшие тригонометрические неравенства имеют вид:

sin х < m, sin x > m, cos x < m, cos x > m, tg x < т, tg x > m, ctg >m; ctg < m,

где m — заданное число.

Сложные

В сложных тригонометрических неравенствах аргумент функции неравенства имеет вид целого выражения с неизвестной, а не просто переменной.

Они бывают:

• дробные;
• двойные;
• тройные;

Методы решения тригонометрических неравенств

Общие сведения по решению тригонометрических неравенств

При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности тригонометрических функций и промежутки их знакопостоянства.

Монотонность характерна как для убывающих, так и для возрастающих функций. Она означает, что в определенном промежутке большему по значению аргумента будет соответствовать большее или меньшее значение функции в зависимости от возрастания или убывания функции, соответственно.

О промежутках знакопостоянства говорят, когда множеству значений аргумента соответствуют только положительные или только отрицательные значения функции.

Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство, необходимо найти множество всех значений аргумента, которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Важные моменты в решении простейших тригонометрических неравенств:

• для sin x:

sin x = 0, если \(\mathrm x=\mathrm{πR}, \ R\in Z;\)

sin x = -1, если \(x=-\frac\pi R+2\pi R\,, \ R\in Z;\)

sin x = 1, если \(x=\frac\pi2+2\pi R, \ R\in Z;\)

sin x > 0, если \(2\pi R<x<\pi+2\pi R, \ R\in Z;\)

sin x < 0, если \(-\pi+2\pi R<x<2\pi R, \ R\in Z.\)

для cos x:

cos x = 0, если \(x=\frac\pi2+\pi R,\ R\in Z;\)

cos x = -1, если \\(x=\pi+2\pi R, \ R\in Z;\)

cos x = 1, если \(x=2\pi R, \ R\in Z;\)

cos x > 0, если \(2\pi R-\frac\pi2<x<\frac\pi2+2\pi R, \ R\in Z;\)

cos x < 0, если \(2\pi R+\frac\pi2<x<\frac32\pi+2\pi R, \ R\in Z.\)

• для tg x:

tg x > 0, если \(\pi R<x<\frac\pi2+\pi R, \ R\in Z;\)

tg x < 0, если \(\pi R-\frac\pi2<x<\pi R, \ R\in Z;\)

тангенс не существует, если \(x=\frac\pi2+\pi R, \ R\in Z.\)

Нестандартные способы решения тригонометрических неравенств включают в себя несколько методик:

1. Графический метод.
2. Метод постановки.
3. Метод интервалов.
4. Метод секторов.
5. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств.

Для решения простейших тригонометрических неравенств применяют графический способ решения и решение с помощью числовой окружности.  

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Решение:

Построим единичную окружность. Построим на ней дуги AC и \(AC_1\). Их синус должен быть равен ½.

Из окружности видно, что все дуги, начинающиеся в точке А и заканчивающиеся в любой внутренней точке дуги \(CBC_1\), удовлетворяют данному неравенству.

Соответственно:

\(\frac\pi6<x<\frac{5\pi}6.\)

Чтобы получить все решения данного неравенства, прибавим к концам этого промежутка 2πR.

Ответ: \(\frac\pi6+2\pi R<x<\frac{5\pi}6+2\pi R, \ R\in Z.\)

Решение:

Обозначим 3х через α.

Неравенство примет вид:

\(\cos\left(\alpha\right)\geq-\frac12.\)

Построим окружность.

Этому неравенству удовлетворяют все точки \[P_\alpha\] единичной окружности, абсциссы которых больше или равны -1/2.

На окружности видно, что эти точки дуги лежат на прямой \(х=-1/2\) или правее ее.

Выделенная на рисунке дуга представляет собой множество всех точек, удовлетворяющих данному неравенству. Концы этой дуги входят в искомое множество. Их абсциссы равны -1/2, значит, удовлетворяют неравенству.

Соответственно:

\(-\frac{2\pi}3\leq\alpha\leq\frac{2\pi}3.\)

Учитывая периодичность косинуса, запишем решения для неравенства

\(\cos\left(\alpha\right)\geq-\frac12:\)

\(-\frac{2\pi}3+2\pi R\leq\alpha\leq\frac{2\pi}3+2\pi R, \ R\in Z.\)

Вернемся снова к переменной х, получим искомый ответ:

\(-\frac{2\pi}3+2\pi R\leq3x\leq\frac{2\pi}3+2\pi R,\;R\in Z;\)

\(-\frac{2\pi}9+\frac{2\pi R}3\leq x\leq\frac{2\pi}9+\frac{2\pi R}3,\;R\in Z.\)

Решение:

Обозначим 2х через α.

Неравенство примет вид:

\(tg α > 1.\)

 Построим окружность и проведем касательную к окружности в точке (1; 0). Эта линия является тангенсом.

Так как α является решением неравенства tg α ≥ 1, то ордината точки \(T_\alpha\) линии тангенсов tg α должна быть равна или больше 1. Луч АТ имеет все эти точки.

Точки \(P_\alpha\) окружности, соответствующие точкам \( P_\alpha\), образуют дугу.

Для ее точек выполняется неравенство \(\frac\pi4\leq\alpha<\frac\pi2.\)

Прибавим к этому промежутку период тангенса и получим решение неравенства \(T_\alpha\geq1:\)

\(\pi R+\frac\pi4\leq\alpha<\frac\pi2+\pi , \ R\in Z.\)

Так как \(α=2х\), получим ответ:

\(\frac{\pi R}2+\frac\pi8\leq x<\frac\pi4+\frac{\pi R}2, \ R\in Z.\)

Графическое решение тригонометрических неравенств

Для решения простейших тригонометрических неравенств с помощью графического метода решения строят график тригонометрической функции (sin x, cos x и т. д.) и прямую у=а. Затем выделяют промежутки с помощью построенных графиков. Эти промежутки являются решением неравенства.

Решение:

Построим графики функций \(y=sin\) \(x\) и \(y=1/2.\)

Из графика видно, что прямая у=1/2 пресекает синусоиду в бесконечном числе точек.

На нем выделены несколько значений аргументов, которые удовлетворяют данному неравенству: \(\frac\pi6, \frac{5\pi}6.\)

Учитывая периодичность синуса, запишем окончательный ответ:

\(\frac\pi6+2\pi R<x<\frac{5\pi}6+2\pi R,\) \(R\in Z.\)

Решение:

Построим графики функций \(y = tg\) \(x \) и \(y = -1.\)

Из графика видно, что одним из промежутков, который удовлетворяет неравенств, является:

\(\left[-\frac\pi4;\;\frac\pi2\right].\)

Учтем периодичность тангенса и получим:

\(x\in\left[-\frac\pi4+k\pi;\;\frac\pi2+k\pi\right],\;k\in Z.\)

Получим ответ:

\(\left[-\frac\pi4+k\pi;\;\frac\pi2+k\pi\right],\;k\in Z.\)

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

Решение:

Введем новую переменную:

\(y = sin x.\)

Тогда данное неравенство можно записать в другом виде:

\(6y^2-5y+1\geq0.\)

Это неравенство представляет собой квадратное уравнение с корнями:

\(y_1=\frac12 \ и \ y_2=\frac13.\)

Получим из данного трехчлена линейные множители, используя формулу:

\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\)

Получим:

\(6y^2+5y+1=6(y-\frac13)(y-\frac12)\geq0.\) (1)

Используем метод интервалов для его решения.

Объединим промежутки \(y\geq\frac12\) и \(y\leq\frac13.\)

Тогда получим, что 

\(\sin\left(x\right)\leq\frac13\) и \(\sin\left(x\right)\geqslant\frac12.\) (2)

Теперь для решения полученных неравенств применим алгоритм решения по методу единичной окружности.

Решая неравенство (1), на построенной слева окружности видим, что ему удовлетворяют такие значения х:

\(-\pi-arc\sin\frac13\leq x\leq arc\sin\frac13\). (3)

Для получения всех решений неравенства к полученному промежутку добавим \(2\pi R.\)

Окончательно имеем:

\(-\pi-arc\sin\;\frac13+2\pi R\leq x\leq arc\sin\;\frac13+2\pi R,\;R\in Z\). (4)

Для решения неравенства (2) так же построим окружность и увидим, что ему удовлетворяют значения х:

\(\frac\pi6+2\pi R\leq x\leq\frac{5\pi}6+2\pi R,\;R\in Z.\) (5)

Значения х, удовлетворяющие неравенствам (4) и (5) являются решением данного неравенства.

Задача 2

Решение:

Введем новую переменную: \(у = cos x.\)

Неравенство примет вид:

\(\frac{15}{y\;+1}<11\;-\;2y.\)

После преобразований получим:

\(\frac{2(y-4)\left(y-{\displaystyle\frac12}\right)}{y+1}<0.\)

Используем метод интервалов.

Решение неравенства:

\(y<-1;\;\frac12<y<4.\)

Неравенство \(\cos\;x<-1\) решения не имеет.

Так как \(-1\leqslant\cos\;x\leqslant\), то неравенство \(\frac12<\cos\;x<4\) надо заменить другим неравенством:

\(\frac12<\cos\;x\leq1.\)

Его решением будет:

\(2\pi R-\frac\pi3<x<\frac\pi3+2\pi R,\;R\in Z\ \)