Волновое уравнение

Что такое волновое уравнение

\(\triangle u\;=\;\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\)

Где \(\triangle\) — оператор Лапласа, u=u(x,t) — дифференцируемая функция, \(x\in\mathbb{R}^n\) — аргумент функции u в виде n-мерной переменной, t — время, v — фазовая скорость.

Волновые уравнения в математической физике применяются для описания малых поперечных колебаний струны и мембраны, акустических процессов в газообразных, жидких и твёрдых средах, электромагнитных и гравитационных волн.

Общий вид

Составляющие уравнения

При работе с физическими процессами в трёхмерном пространстве волновое уравнение получается из уравнения плоской волны.

Если мы имеем уравнение плоской волны:

\(A(\overrightarrow r,\;t)\;=\;A_0\cos(wt\;-\;(\overrightarrow k,\overrightarrow r)\;+\;\varphi_0)\)

Где \(A(x,\;t)\;\) — возмущение в точке x в момент времени t, \(A_0\) — волновая амплитуда, \(\omega\) — круговая частота, \(\overrightarrow k\) — волновой вектор, \(\overrightarrow k\;=\;\overrightarrow k(x,y,z)\) — радиус-вектор в точке \(x, y, z, \varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Если мы продифференцируем его по переменным x, y, z и t, то получим систему уравнений в частных производных:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial t}^2}=-\omega^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-\omega^2A(\overrightarrow r,t), (1)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}=-k_x^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_x^2A(\overrightarrow r,t), (2)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}=-k_y^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_y^2A(\overrightarrow r,t), (3)\)

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=-k_z^2A_0\cos(wt-(\overrightarrow r,t)+\varphi_0)=-k_z^2A(\overrightarrow r,t). (4)\)

При сложении уравнений (2), (3), (4) получаем:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=-k^2A(\overrightarrow r,t). (5)\)

Из уравнений (1) и (5) следует, что:

\(\frac{k^2}{\omega^2}=\frac1{v^2}. (6)\)

Следовательно:

\(\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2A(\overrightarrow r,t)}{{\partial z}^2}=\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}. (7)\)

Таким образом, мы получаем общее волновое уравнение из суммы уравнений плоской волны в частных производных.

Для уравнений в n-мерных пространствах для построения берется система дифференциальных уравнений в частных производных по времени t и по каждому из n измерений.

Для одномерного пространства данное уравнение называется уравнением колебания струны и имеет следующую характеристику:

\(\frac{\partial^2u}{{\partial x}^2}=\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{{\partial t}^2}. (8)\)

Из описанного выше мы можем сделать вывод, что в общем случае для решения волновых задач необходимо применение численных методов. Тем не менее, для некоторых случаев существуют аналитические решения уравнений.

Операторы уравнения

С применением оператора Лапласа уравнение (7) принимает привычный нам вид:

\(\triangle u\;=\;\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial t^2}.\)

Оператором Д'Аламбера \(\square\) называется следующая разность:

\(\square=\bigtriangleup-\frac1{v^2}\cdot\frac{\partial^2}{\partial t^2}. (9)\)

Тогда волновое уравнение можно представить в виде:

\(\square u=0. (10)\)

Решение уравнения

В математической физике существуют несколько частных случаев волновых уравнений, для которых существуют аналитические решения:

• формула Д'Аламбера;
• формула Пуассона-Парсенваля;
• формула Кирхгофа.

Формула Д'Аламбера

Рассмотрим формулу Д'Аламбера, являющейся частным случаем волновых уравнений в одномерном пространстве:

\(u_{tt}=a^2u_{tt}+f.\)

Где f=f(x,t) — вынуждающая внешняя сила, \(u(x,0)\;=\;\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Д'Аламбера имеет вид:

\(u(x,t)\;=\;\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}2+\frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)\operatorname d\alpha+\frac1{2a}\int_0^t\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(s,\tau)\operatorname dsd\tau. (11)\)

Формула Пуассона-Парсенваля

Частным случаем волнового уравнения для поверхности или плоскости является формула Пуассона-Парсенваля.

Рассмотрим уравнение:

\(u_{tt}\;=\;a^2\triangle u+f\)

Где \(u(x,0)=\varphi(x),\;u_t(x,0)=\psi(x)\) — начальные условия.

Тогда решение формулы Пуассона-Парсенваля имеет следующий вид:

\(u(\overline x,t)=u(x_1,x_2,t)=\frac1{2\pi a}\int_0^t\iint\limits_{\tau<(at-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,\;\tau)dy_1dy_2d\tau}{\sqrt{a^2{(t-\tau)}^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}+\frac\partial{\partial t}\frac1{2\mathrm{πa}}\iint\limits_{\tau<at}\frac{\varphi(y_1,y_2,\;)dy_1dy_2}{\sqrt{a^2t^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}+\frac1{2\mathrm{πa}}\iint\limits_{\tau<at}\frac{\psi(y_1,y_2,\;)dy_1dy_2}{\sqrt{a^2t^2-{(y_1-x_1)}^2-{(y_2-x_2)}^2}}. (12)\)

Формула Кирхгофа

В трёхмерном пространстве частным случаем волновых уравнений, для которых существует аналитическое решение, является формула Кирхгофа.

Мы имеем уравнение следующего вида:

\(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\bigtriangleup u\;=\;f (13)\)

Где \(u=u(x,t), f=f(x,t), u,\;f\;\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^+, \bigtriangleup\) — оператор Лапласа, при начальных условиях:

\({\left.u\right|}_{t=0}=\varphi_0(\overline x),\;\frac{\partial u}{\partial t}=\varphi_1(\overline x)\)

Мы получим следующее решение уравнения:

\(u(x,t)\;=\;\frac\partial{\partial t}\left[\frac1{4\mathrm{πa}^2\mathrm t}\iint\limits_S\varphi_0(y)d^2S_n\right]+\frac1{4\mathrm{πa}^2\mathrm t}\iint\limits_S\varphi_1(y)d^2S_n+\frac1{4\mathrm{πa}^2}\underset{\left|x-y\right|<at}{\int\int\int}\frac{f(y,t-{\displaystyle\frac{\vert x-y\vert}a}}{\vert x-y\vert}d^3y (14)\)

Где \(S:\;\vert x-y\vert=at \) — сфера, по которой осуществляется интегрирование.

Решение в сферических координатах

Стандартное волновое уравнение в сферических координатах имеет следующий вид:

\(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac2r\frac{\partial V}{\partial r}+\frac1{r^2}\bigtriangleup_1V+k^2V=0. (15)\)

Требуется найти решение данного в обычной форме:

\(V=f(r)Y(\theta,\varphi). (16)\)

Используя в изначальном уравнении данную формулу, а также воспользовавшись методом разделения переменных, получаем:

\(\frac{f"(r)}{f(r)}+\frac2r\frac{f'(r)}{f(r)}+\frac1{r^2}\frac{\triangle_1Y(\theta,\varphi)}{Y(\theta,\varphi)}+k^2=0. (17)\)

Посредством преобразований получаем следующую систему уравнений:

\(\left\{\begin{array}{l}\triangle_1Y+\lambda Y=0,\\f"(r)+\frac2rf'(r)+(k^2-\frac\lambda{r^2})f(r)=0.\end{array}\right. (18)\)

Тогда, для любых \(\lambda_n=n(n+1),\;n\in\mathbb{Z}+\) имеет место:

\({f"}_n(r)+\frac2r{f'}_n(r)+(k^2-\frac{n(n+1)}{r^2})f_n(r)=0. (19)\)

Для удобства дальнейших вычислений произведём замену функции f(r) на R(r):

\(f_n(r)=\frac1{\sqrt r}R_n(r). (20)\)

Получим:

\(R"_n(r)+\frac1rR'_n+(k^2-\frac{{(n+{\displaystyle\frac12})}^2}{r^2})R_n(r)=0 (21)\)

Где \(R_n(r)=Z_{n+\frac12}(kr), а Z_{n+\frac12}(r)\) — решение уравнения Басселя с параметром \(p=n+\frac12.\)

Тогда мы получаем следующее выражение:

\(V=\frac{Z_{n+{\displaystyle\frac12}}(kr)}{\sqrt r}Y_n(\theta,\varphi),\;N\in\mathbb{Z}+ (22)\)

Волновое уравнение механических волн

Рассматривают поперечные и продольные механические волны.

В продольных волнах колебания, несущие эту волну, осуществляется по вектору, параллельном направлению движения. Они возможны в газообразной, жидкой и твёрдой среде. Особенностью поперечных волн является возможность их наличия исключительно при возможности деформации сдвига в твёрдых средах.

В условиях распространения в бесконечной натянутой струне поперечная монохроматическая волна может быть описана следующим выражением (уравнением бегущей струны):

\(\xi(t,z)=A\cdot\cos\omega(t-\frac zv) (23)\)

Где \(\xi(t,z)\) — смещение частицы из положения равновесия в струне, z — расстояние от начала струны до точки равновесного положения частицы в струне, v — скорость распространения колебаний.

Примеры задач и решение

Задача 1

Найти скорость распространения звуковой волны, если частота колебаний равна \(\nu\)=400Гц, а амплитуда \(A=10^{-4}м\) и длина волны \(\lambda\)=0,8м. Также определить максимальную скорость частиц в данной среде.

Решение

Ввиду недостаточно строгого определения условий, сделаем допущение, что волна является плоской.

Тогда, сориентировав ее распространение по оси X, получим следующее уравнение:

\(\xi(t,x)=A\cos\omega(t-\frac xv).\)

Зная, что длина волны равна \(\lambda=\frac v\nu,\) получаем, что скорость волны равна:

\(v=\lambda\nu=0,8\cdot400=320\;(м/с).\)

Исходя из того, что скорость есть первая производная расстояния по времени, имеем:

\(\frac{d\xi}{dt}=\frac d{dt}(A\cos\omega(t-\frac x\nu))=-A\omega\sin\omega(t-\frac x\nu),\) следовательно:

\(max\frac{d\xi}{dt}=2\pi\nu A=2\pi\cdot400\cdot10^{-4}=0,25(м/с).\)

Ответ:

1. \(v=320 м/с;\)
2. \(max\frac{d\xi}{dt}=0,25 м/с.\)

Задача 2

Скорость распространения волны по упругой струне составляет \(\nu\)=10 м/с. Амплитуда колебаний точек в струне составляет A=0,05 м, период колебаний составляет Т=1 с. Сформулировать уравнение волны.

Решение

Так как в общем случае при распространении по оси X уравнение поперечной механической волны имеет вид:

\(\xi(t,z)=A\cdot\cos\omega(t-\frac xv)\)

то, найдя циклическую частоту по формуле \(\omega=\frac{2\pi}T=2\pi\;(рад/с),\) получаем:

\(\xi(t,z)=0,05\cdot\cos2\pi(t-\frac x10) (м)\)

Ответ: \(\xi(t,z)=0,05\cdot\cos2\pi(t-\frac x10)\) м.