Закон сложения скоростей

Закон сложения скоростей — что это такое

В классической механике применяют термин, который звучит, как абсолютная скорость точки. Данная величина является суммой двух векторов: относительная и переносная скорости точки. В подобном равенстве выражена теорема сложения скоростей. Общепринятым положением является равенство скорости движения какого-либо объекта в рамках неподвижной системы отсчета и векторной суммы скорости аналогичного физического тела в условиях относительно подвижной системы отсчета. Данными координатами определяется непосредственное нахождение тела.

Классический вид, формула расчета

Релятивистским законом сложения скоростей являются соотношения, справедливые для частицы, перемещающейся параллельно относительной скорости систем отсчета:

\(К\) и \(K^{,}\)

Соотношение теории имеет следующий вид:

\(u_{x}=\frac{u_{x}^{,}+\upsilon }{1+\frac{\upsilon }{c^{2}}u^{,}_{x}}\)

\(u_{y}=0\)

\(u_{z}=0\)

В случае, когда u<<с, наблюдают переход релятивистских формул в формулы, характерные для классической механики:

\(u_{x}=u^{,}_{x}+\upsilon\)

\(u_{y}=0\)

\(u_{z}=0\)

Преобразование координат и времени

Закон сложения скоростей вытекает из физических процессов. Представленное выше соотношение получено в результате преобразований координат и времени. Можно представить частицу, которая в определенное время \(t^{,}\) зафиксирована в точке с координатами: \(x^{,}\), \(y^{,}\), \(z^{,}\).

Спустя какой-то небольшой промежуток времени \(\Delta t^{,}\) частица переместилась в точку:

\(x^{,}+\Delta x^{,}\)

\(y^{,}+\Delta y^{,}\)

\(z^{,}+\Delta z^{,}\)

В системе отсчета \(K^{,}\).

Таким образом, при движении частицы происходят два события. Можно записать следующую формулу:

\(\Delta x^{,}=\Delta v^{,}_{x}\Delta t^{,}\)

где \( \Delta v^{,}_{x}\) представляет собой х компоненту скорости частицы в системе \(K^{,}.\)

Такие же равенства можно вычислить относительно других компонент. Аналогично координатам преобразуются разности координат и промежутки времени \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\). \(\Delta t\).

Уравнения будут иметь следующий вид:

\(\Delta x=\Delta x^{,}+V\Delta t^{,}\)

\(\Delta y=\Delta y^{,}\)

\(\Delta z=\Delta z^{,}\)

\(\Delta t=\Delta t^{,}\)

Исходя из составленных формул можно сделать вывод о том, что компоненты скорости той же частицы в системе \(К\) будут записаны следующим образом:

\(\upsilon _{x}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\left(\Delta x^{,}+V\Delta t^{,} \right)}{\Delta t}=\upsilon _{x}^{,} +V\)

\(\upsilon _{y}=\upsilon _{y}^{,}\)

\(\upsilon _{z}=\upsilon _{z}^{,}\)

Уравнение представляет собой закон сложения скоростей. Данную закономерность можно привести в векторный вид:

\(\vec{\upsilon }=\vec{\upsilon ^{,}}+V\)

Координаты в системе \(К\) и системе \(K^{,}\) будут параллельны.

Алгоритм решения задач

Существуют правила, которые являются основой механической физики. Исходя из данных соотношений, можно рассмотреть примеры сложения скоростей. Простейшими объектами для объяснения физических законов являются, к примеру, человек и любой перемещающийся в пространстве объект, с которым он прямо или косвенно взаимодействует.

Пример

Можно представить, что человек совершает прямолинейное движение вдоль коридора пассажирского поезда со скоростью пять километров в час. При этом равномерная скорость состава составляет 100 километров в час. Скорость человека, относительно пространства, которое его окружает, будет равна 105 километрам в час. Следует учитывать одинаковое направление перемещения человека и поезда.

В случае, когда направления движения человека и транспорта противоположны, данный принцип также справедлив. Тогда человек будет двигаться относительно окружающего пространства со скоростью 95 километров в час.

При рассмотрении объектов, скорости которых равны, можно сделать вывод, что относительно друг друга они неподвижны. Во время вращения скорость рассматриваемого тела представляет собой совокупность скоростей перемещения тела относительно движущейся поверхности другого объекта.

Решение задач на сложение скоростей выполняется в несколько этапов:

1. Следует начать с выбора тела отсчета, которое связано с неподвижной системой координат.
2. Далее необходимо определить тело отсчета, которое совершает движение по отношению к первому телу, и связать его с подвижной системой координат.
3. Изучение движения тела в двух координатных системах.
4. Запись закона сложения скоростей, относительно конкретных условий задачи.

Задача 1

На примере рассмотрено равномерное движение двух поездов друг за другом. Первый поезд перемещается со скоростью 80 км/ч, а второй — 60 км/ч. Требуется рассчитать, какова скорость второго поезда относительно первого.

Решение

Следует обозначить скорость первого транспортного средства по отношению к земле с помощью \(\vec{v_{1}}.\)

Тогда скорость  второго поезда составит \(\vec{v_{2}}.\)

Исходя из закона сложения скоростей:

\(\vec{v_{2}}=\vec{v_{2}^{'}}+\vec{v_{1}}\)

где \(\vec{v_{2}^{'}}\) является искомой скоростью второго поезда по отношению к первому.

Таким образом:

\(\vec{v_{2}^{'}}=\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}}\)

Такой метод сложения скоростей наглядно представлен на рисунке. Схематично скорость второго поезда по отношению к первому направлена противоположно направлению перемещения поездов, и можно наблюдать удаление второго поезда от первого. Проекция скорости \(\vec{v_{2}^{'}}\) на ось ОХ будет записана таким образом:

\(v_{2}^{'}=v_{2}-v_{1}=-20\)

Ответ: скорость второго поезда относительно первого составит -20 км/ч

Задача 2

Река течет со скоростью \(v = 1,5\) м/с. Требуется определить модуль скорости \(v_{1}\) по отношению к воде. Необходимо учитывать, что в случае движения катера перпендикулярно относительно берега, его скорость составляет \(v_{2}=2\) м/с.

Решение

Исходя из закона сложения скоростей:

\(\vec{v_{2}}=\vec{v_{2}}-\vec{v}\)

Формула для расчета скорости катера относительно реки:

\(\vec{v_{1}}=\vec{v_{1}}+\vec{v}\)

Векторное сложение скоростей представлено на рисунке. На схеме получаем треугольник скоростей с прямым углом, поэтому:

\(\vec{v_{1}}=2,5\)

Ответ: модуль скорости \(v_{1}\) по отношению к воде составляет \(2,5\) м/с.

Задача 3

Скорость движения самолета относительно воздуха составляет 300 км/ч. Объект движется в северном направлении. При возникновении северо-западного ветра, скорость которого 100 км/ч по отношению к земле, самолет должен сохранить исходное направление. Требуется рассчитать угол, под которым летчик удерживает направление самолета для продолжения пути на север, а также скорость самолета относительно земли.

Решение

Необходимо связать неподвижную систему отсчета с землей, а подвижную — с воздухом. Скорость самолета по отношению к земле можно рассчитать, как сумму скорости самолета относительно воздуха и скорость ветра относительно земли. В таком случае, исходя из закона сложения скоростей:

\(\vec{v_{2}}= \vec{v_{2}^{'}}+\vec{v}\)

Рисунок демонстрирует направление этих скоростей. Направление скоростей выполнено таким образом, чтобы проекции скорости самолёта относительно ветра и скорости ветра на оси ОХ равнялись по модулю и были направлены противоположно:

\(\vec{v_{2x}^{'}}=-\vec{v_{x}}\)

Таким образом:

\(\vec{v_{2}^{'}}\cos \alpha =\vec{v}\cos 45^{0}\)

Если рассматривать проекцию на ось ОУ, то уравнение примет такой вид:

\(\vec{v_{2y}}=\vec{v_{2y}^{'}}+\vec{v_{y}}\)

В таком случае, искомая скорость самолета составит:

\(\vec{v_{2y}}=\vec{v_{2}^{'}}\sin \alpha -\vec{v}\sin 45^{0}\)

Данное равенство позволит определить угол α:

\(\cos \alpha =\frac{v}{v^{'}_{2}}\cos 45^{0}\)

Подставив числовые характеристики, получим:

\(\cos \alpha =\frac{100}{300}0,707=0,236\)

Таким образом:

\(\alpha =76^{0}\)

Найти \(\sin \alpha\) можно таким образом:

\(\sin \alpha =\sqrt{1-\left(\frac{v}{v^{'}_{2}} \cos 45^{0}\right)^{2}}\)

Скорость самолета относительно земли составит:

\(v_{2y}=v^{'}_{2}\sqrt{1-\left(\frac{v}{v^{'}_{2}} \cos 45^{0}\right)^{2}}-v\sin 45^{0}\approx 220\)

Ответ: угол, под которым летчик удерживает направление самолета для продолжения пути на север, равен \(76^{0}\); скорость самолета относительно земли примерно равна 220 км/ч.