Значение частного двух чисел в математике

Что такое частное чисел

Деление как операция

Подобно тому, как неоднократно прибавить число – это значит умножить, так и неоднократно вычесть – это значит разделить.

На письме данную операцию можно обозначать разными символами:

• : двоеточием;
• ÷ обелюсом;
• / косой чертой (слеш);
• — горизонтальной чертой (знак дроби).

Процесс деления имеет следующий вид:

\(\frac{делимое}{делитель}=частное\)

В цифрах данное выражение можно записать так:

\(15 : 5 = 3,\)

\(15 ÷ 5 = 3,\)

\(15/5 = 3,\)

\(\frac{15}{5}=3.\)

Основные свойства деления

Деление не коммутативно, то есть не перестановочно – от перемены мест элементов операции частное изменяется:

\(a : b ≠ b : a;\)

Деление не ассоциативно – то есть при последовательном выполнении деления трех или более чисел последовательность операций имеет значение, при смене порядка выполнения изменится результат:

\((a : b):c ≠ a : (b : c);\)

Деление дистрибутивно справа – на одном и том же множестве две бинарные операции имеют свойство согласованности:

\((a + b): x = (a : x)+(b : x);\)

Имеется единственный нейтральный элемент – число 1, при делении на единицу результатом является исходное число (делимое):

\(а : 1 = а;\)

Имеется единственный обратный элемент – число 1, при делении единицы на число результатом является число, обратное исходному (делителю):

\(1 : а = а^-1, а ≠ 0;\)

Существует единственный нулевой элемент – число 0, при делении нуля на любое число результатом будет нуль:

\(0 : а = 0, а ≠ 0;\)

Деление на нулевой элемент не определено:

\(а : 0 = ∞, а ≠ 0;\)

Деление на противоположный элемент дает минус единицу:

\(а : (-а) = -1.\)

Неполное частное

Неполное частное – результат, который получился после деления с остатком.

Под делением с остатком понимается нахождение наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Это искомое и называют неполным частным.

Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.

Например, 17 не делится без остатка на 5.

Наибольшее число, результат умножения которого на 5 не превосходит 17, это 3. 3 в данном случае является неполным частным.

Чтобы получить остаток, нужно из 17 вычесть произведение 3 и 5, то есть 17 – 3*5 = 2. Остаток – 2.

Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя

Изменение делимого:

• увеличение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

\((а * x) : b = c * x;\)

• уменьшение делимого в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

\((a : x) : b = c : x.\)

Изменение делителя:

• увеличение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное уменьшится во столько же раз:

\(а : (b * x) = c : x;\)

• уменьшение делителя в несколько раз приведет к тому, что частное увеличится во столько же раз:

\(а : (b : x) = c * x.\)

Частное не изменится, если делимое и делить одновременно увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз:

\((а * x) : (b * x) = c;\)

\((а : x) : (b : x) = c;\)

Задачи, примеры вычисления частного

Для того, чтобы проиллюстрировать данную арифметическую операцию, решим простые задачи.

Задача 1

В книге 891 страница. Она поделена на 9 равных глав. Узнайте, сколько страниц в одной главе.

Решение:

Для этого количество страниц разделим на количество глав:

891 : 9 = 99 (страниц)

Ответ: 99 страниц.

Задача 2

У Антона есть 22 апельсина. Он хочет приготовить из них компот. Для одного литра компота ему понадобится 3 апельсина. Нужно вычислить, сколько литров напитка сможет приготовить Антон и сколько апельсинов у него останется.

Решение:

22 : 3 = 7 (литров) (остаток 1)

Ответ: 7 литров, 1 апельсин останется.