Действительные числа

Что такое действительные числа

Схематически понятие действительных значений можно представить совокупностью, образованной рациональными и иррациональными членами. Для наглядности этой совокупности прибегают к числовой прямой.

Стандартным условным обозначением является буква R, выполненная полужирным шрифтом.

Обозначение не случайное, оно взято из английского слова realis (в переводе — действительный).

С позиции конструктивизма вещественные величины для математики не являются строгими понятиями. Их вводят для арифметических операций или определения отношений в каком-либо порядке, а также для доказательства проявляемых свойств.

По своей сути действительное число является бесконечной десятичной дробью. Его можно записать следующим образом:

ао, а1, а2….. аn…

Как обычно, значение до первой запятой — целое. Если в каком-либо сегменте после запятой образуются нули, они не пишутся.

Если захотеть представить, между какими рациональными величинами находится выражаемое значение, то это будет выглядеть так:

ао, а1, а2….. аn и ао, а1, а2….. аn+10-n

Где n — значение натурального числа.

История термина

Введение в обиход термина «вещественное число» произошло еще в Древней Греции. Школа Пифагора обратила внимание, что, кроме целых значений и их соотношений, существует несоизмеримое множество. С точки зрения современных классификаций, это — числа, не являющиеся рациональными.

Позднее Евдокс Книдский пытался создать общую теорию, которая бы включала также несоизмеримые величины. Однако в практику эти попытки в то время не вошли. Прошло более двух тысяч лет, пока возникла истинная необходимость введения такого понятия. Толчком послужил математический анализ, развиваемый Р.Дедекиндом, Г.Кантором, Э.Гейне и их коллегами. Периодом создания теории вещественных (или действительных) чисел считается вторая половина XIX века.

Для современных математиков то множество, которое объединяет рациональные и иррациональные величины, является непрерывным упорядоченным полем. С позиции изоморфизма оно является единственным.

Представления действительных чисел

Как видно из рисунка из действительных выделяют рациональные и иррациональные величины.

Рациональные (Q), в свою очередь, подразделяются на целые (Z) и дробные. В совокупность целых входят ноль, натуральные значения (N) и им противоположные.

Самое простое, что можно представить в математике — это натуральное число. Это то, что мы перечисляем при простом счете. Именно с этих чисел дети начинают учиться решать элементарные примеры. Они же используются в сложнейших математических задачах. Если выстроить натуральные единицы в порядке возрастания, получится натуральный ряд. Он является бесконечным, поскольку после n всегда существует n+1.

Существует две теории определения группы натуральных чисел. Согласно первой, они появляются, когда человек что-либо нумерует. Например: первый, второй, третий и последующий участник. Согласно второй, в них есть необходимость в ситуациях, когда нужно определиться с количеством чего-либо. Например, 1 стул, 0 стульев, 100 стульев. Казалось бы, оба подхода определяют натуральные числа, однако явно заметна разница: в первом случае ноль исключен, во втором — без него не обойтись.

Поэтому сегодня существует два условных обозначения для этой группы:

1. N — натуральные, начиная с нуля.
2. N* — натуральные, начиная с единицы.

Характеризуя натуральные числа, обращают внимание на их свойства:

• коммутативность при складывании;
• коммутативность при умножении;
• ассоциативность при складывании;
• ассоциативность при умножении;
• существование согласованности этих двух действий.

Целые числа

Взяв натуральное множество, включающее нуль и добавив к нему отрицательные значения, получим новую единицу классификации — целые числа. При этом возникает резонный вопрос: зачем нужно дополнительное понятие? Продиктована эта необходимость тем, что, работая с натуральными числами, вычесть из меньшего большее нереально. С целыми это сделать можно.

Действительное значение можно сделать целым при сокращении его дробной части. Так, 7,5 или 124,85 не являются целыми, 2, 8, 12, 154 — являются.

Для обозначения множества целых чисел применяется Z. В математике существует раздел «Теория чисел», который занимается изучением их характеристик.

Структуру множества целых можно представить тремя составляющими:

• натуральными;
• нулем;
• целыми отрицательным.

Натуральные заметны при счете, например, 1, 2, 3 и т.д. Отрицательные имеют впереди знак «-». Для всех целых чисел существует противоположное значение со знаком минус. При этом абсолютная величина числа не содержит минуса. Ее правильным обозначением является ׀a׀.

В решениях задач для целых величин предусматриваются такие действия:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление.

При этом деление может осуществляться с остатком. Целые могут сравниваться друг с другом, при этом Z — это линейно упорядоченное, бесконечное множество. Его мощность идентична мощности натуральных чисел. Оба они применяются для счета.

Десятичные дроби

Не всякую величину можно измерить целыми единицами. Если, кроме него, в значении включена дополнительно ее часть, то такая величина является дробной.

Десятичные дроби записываются так: 5,6; 7,88; 9,2568. Разрядность после запятой может быть различной, но в любом случае десятичная дробь не может иметь знаменателя. Другими словами, он равен 0 целых и 0 десятых.

Десятичная дробь может быть конечной либо бесконечной. Схематическая запись конечной выглядит так: ao,a1, a2…an. Число цифр после запятой четко определено.

Примером бесконечной является число π. Его значение равняется 3,1415926535897…Из примера видно, что количество цифр после запятой не определено, т.е. ao, a1, a2…

Бесконечная десятичная дробь может характеризоваться периодичностью. В таком случае в цифрах после запятой наблюдается периодически повторяющаяся группа цифр.

В таком случае цифры 456 называются периодом дроби, а количество цифр в группе (3 цифры) — длина периода.

Обыкновенные дроби

Говоря о дроби, математики имеют ввиду число, которое состоит из одной, двух либо нескольких одинаковых по величине частей от единицы. Эти части называются долями.

Кроме рассмотренных выше десятичных дробей, существуют обыкновенные, схематически выражаемые формулой m/n. Они могут иметь знак «-» либо «+». Значение цифр в обыкновенной дроби следующее: над чертой — числитель (показывает сколько раз взята выбранная доля), под чертой — знаменатель (то, насколько частей разделили первоначальное число).

Дробь, в которой целый числитель и знаменатель отличный от нуля, относится к рациональным числам.

Обыкновенные дроби представлены правильными и неправильными вариантами. Если числитель меньше (по модулю), чем знаменатель, то эта дробь правильная Если наоборот — неправильная (тогда она — рациональное число, которое по модулю превышает либо равно единице).

Различают также смешанные дроби. В их записи присутствует целое число и правильная дробь. Простым языком можно сказать, что смешанная дробь по своему значению равна сумме целого числа и дроби.

Более сложной модификацией является дробь составная, т.е. «многоэтажная». В ней числитель и знаменатель (либо только один из них) также представлены обыкновенными дробями.

С обыкновенными дробями можно производить следующие действия:

1. Привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Тогда ними легче манипулировать (складывать, сравнивать, отнимать).
2. Собственно складывать и вычитать.
3. Сравнивать.
4. Умножать и делить.
5. Представлять их в различных форматах. Для этого нужно числитель разделить на знаменатель.

Координатная прямая и действительные числа

Для решения многих математических задач удобно построить схему, на которой отразить месторасположение какого-либо тела с известными координатами. Если действие можно произвести по одной прямой линии, действительные числа располагаются на ней через равные промежутки, принятые за единицу измерения. Такое изображение называется числовой прямой. На ней обязательно существует 0 (точка отсчета) и единицы измерения — действительные числа — расположенные в порядке возрастания либо убывания (как на рисунке).

С помощью координатной прямой и действительных чисел, нанесенных на ней, можно определять не только местоположение точки, но и сравнивать ее с другими точками, отображать ее координаты в процессе движения.

Координатную прямую часто называют геометрической моделью всего множества действительных чисел. Второе ее название — числовая прямая.

Правила вычисления с действительными числами, формулы

Действительные значения могут участвовать как в простых математических задачах, так и сложных, преобразовательных и упрощаемых заданиях.

Для них действуют формулы типа: a больше (либо меньше) числа b, если при вычитании b из a получается положительная (либо отрицательная) величина.

Кроме того в работе с действительными числами пользуются правилами:

1. Если умножить (или разделить) два положительных, непременно получится положительное. Например: 5*6=30; 81:9=9.
2. Если умножить (или разделить) два отрицательных, непременно получится положительное. Например: (-23)*(-15)=345; (-121):(-11)=11.
3. Если умножить (или разделить) положительное на отрицательное, непременно получится отрицательное. Например: 58*(-14)=(-812); (-45):9=(-5).

Существуют и правила для сравнения действительных чисел:

1. Используя для работы числовую прямую, большим является то, которое расположено на ней правее, а меньшим то, которое находится левее. Это правило действует как для положительной, так и для отрицательной стороны, а также может применяться для дробей, в т.ч. комплексных.
2. Любое отрицательное число либо нуль меньше самого малого положительного числа, и наоборот.
3. Число, записанное в виде целого либо соответствующей ему дроби, занимает на числовой прямой одно и то же положение.

Иногда для простоты расчетов прибегают к округлению действительных чисел. При большой разрядности исходного в условии обычно оговаривается до каких единиц произвести округление. Если последующая цифра за заданным рангом 5 и больше, то округление происходит с увеличением, если меньше — с уменьшением.

Ответ: 5,66;

Ответ: 85,6576.