Как найти двугранный угол

Что такое двугранный угол

Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.

Источник: ru.wikipedia.org

Как найти

В поиске ответов на различные примеры из геометрии следует руководствоваться основными понятиями. Введем несколько обозначений для элементов двугранного угла.

В процессе измерения двугранных углов используют величины линейных углов, то есть тех, что образованы при пересечении двугранного угла и плоскости, расположенной под прямым углом к ребру рассматриваемого угла. В результате для поиска величины двугранного угла рекомендуется следовать следующему алгоритму действий:

• следует определить какую-либо точку на его ребре;
• далее под прямым углом к ребру нужно опустить из определенной ранее точки лучи ко всем граням;
• угол, который разделяет изображенные лучи, соответствует величине искомого двугранного угла.

Запишем в табличной форме значения двугранных углов, характерные для правильных многогранников:

 

В данном случае следует считать $\phi$ равным $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, то есть золотым сечением.

Виды двугранных углов

Тупой двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Прямой двугранный угол:

 

Источник: rusinfo.info

Острый двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Задачи

Решение

Предположим, что искомая пирамида имеет следующее название SABCD. Пусть S играет роль вершины геометрической фигуры, а ее ребра соответствуют а. Тогда, согласно условию задания, требуется найти угол, разделяющий грани SAD и SCD.

Источник: shkolkovo.net

Построим $CH\perp SD$. Заметим, что:

$\triangle SAD=\triangle SCD$

В этом случае AH также играет роль высоты в $\triangle SAD$. Таким образом, исходя из определения:

$\angle AHC=\alpha$

Заметим, что $\alpha$ является линейным углом, разделяющим грани SAD и SCD. При условии квадратного основания в пирамиде запишем следующее:

$AC=a\sqrt2$

Кроме того, имеет место такое равенство:

CH=AH

Высота AH находится в треугольнике с одинаковыми сторонами, равными а. Таким образом:

$CH=AH=\frac{\sqrt3}2a$

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к $\triangle AHC$:

$\cos \alpha=\dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CH\cdot AH} =-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.$

Ответ: -2.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Заметим, что треугольник AMN обладает прямым углом, тогда:

$AN^2 = AM^2 + MN^2$

В результате:

$AM^2 = 39^2 - 15^2 = 36^2$

Прямоугольным также является треугольник BMN. В таком случае:

$BN^2 = BM^2 + MN^2$

Исходя из этого, получим:

$BM^2 = 17^2 - 15^2 = 8^2$

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к треугольнику AMB:

$AB^2 = AM^2 + MB^2 - 2\cdot AM\cdot MB\cdot\cos\angle AMB$

Таким образом:

$40^2 = 36^2 + 8^2 - 2\cdot 36\cdot 8\cdot\cos\angle AMB\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos\angle AMB = -\dfrac{5}{12}$

Исходя из того, что угол $\alpha$, разделяющий плоскости, является острым, а угол $\angle AMB$ определяется как тупой, получим следующее равенство:

$\cos\alpha=\dfrac5{12}$

$3\cos\alpha = \dfrac54=1,25$

Ответ: 1,25.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Геометрические фигуры в виде треугольников с прямыми углами $\triangle SAO$ и $\triangle SDO$ являются идентичными, согласно паре сторон и углу, который их разделяет:

$SO \perp ABC \Rightarrow \angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$

AO = DO

Записанные выше равенства являются справедливыми, так как в точке O пересекаются диагонали квадрата, а SO служит общей стороной.

$\Rightarrow AS = SD \Rightarrow \triangle ASD$

$\triangle ASD$ является равнобедренным. Точка K делит пополам AD. В таком случае SK представляет собой высоту в треугольнике $\triangle ASD$, а OK обозначает высоту в треугольнике AOD. Таким образом, плоскость SOK расположена под прямым углом к плоскостям ASD и ABC. Можно сделать вывод о том, что $\angle SKO$  является линейным углом, который соответствует искомому двугранному углу.

Источник: shkolkovo.net

Рассмотрим треугольник $\triangle SKO$:

$OK = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5 = SO$

Таким образом, $\triangle SOK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда:

$\angle SKO = 45^\circ.$

Ответ: $45^\circ.$