Правила деления комплексных чисел

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

$z_1 = 3+i$ и $z_2 = 2-3i$

Решение:

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} =$

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

$\overline{z_2} = 2+3i$

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

$= \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i - 3}{4 + 6i - 6i + 9} =$

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

$= \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i$

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i$

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

$z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6})$

$z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})$

Решение:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. По этой причине необходимо использовать в расчетах соответствующую формулу. В данном случае следует определить деление модулей и разность аргументов:

Деление модулей:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Разность аргументов:

$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Следующим шагом является деление чисел:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} )$

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{6} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} )$

Нужно найти частное комплексных чисел:

$z_1 = 3e^{\frac{\pi}{2}i}$

$z_2 = 4e^{\frac{\pi}{4}i}$

Решение:  Согласно формуле деления в показательной форме определяем разность аргументов и частное модулей:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$

$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

При подстановке в формулу полученных значений уравнение будет преобразовано следующим образом:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i}$

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} e^{\frac{\pi}{4}i}$

Определить частное:

$\frac{-2+i}{1-i}$

Решение:

В первую очередь следует домножить числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю:

$1-i$

Данным числом является:

$1+i$

Таким образом:

\$frac{-2+i}{1-i}=\frac{-2+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

Затем следует перемножить комплексные числа, как алгебраические двучлены, с учетом:

$i^{2}=-1$

$\frac{-2+i}{1-i}=\frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=$

$=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Ответ:$\frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}$

Необходимо найти частное:

$\frac{z_{1}}{z_{2}}$

При условии, что:

$z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)$

$z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}$

Решение:

Искомое частное:

$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=$

$=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=$

$=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i$

Ответ: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i$

Необходимо разделить два комплексных числа:

$z_{1}=-1+3i$

$z_{2}=1+2i$

Решение:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =$

$= \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i$

Ответ: $z_{1} \div z_{2} = 1+i$

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

$z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

$z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

Решение:

Используя соответствующую формулу, запишем:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =$

$= 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}$

Ответ:$z_{1} \div z_{2} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}$

Требуется разделить два комплексных числа:

$z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}$

$z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i}$

Решение:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}$

Ответ: $z_{1} \div z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}$