Определение десятичного логарифма и как его найти

Десятичные логарифмы широко применялись в вычислениях до появления компактных калькуляторов. Они позволяли значительно облегчить сложные расчеты, что существенно снижало вероятность ошибки.

Десятичный логарифм числа – что это такое в математике

Логарифмом числа k по основанию n (log_n k) называется такое число m, при котором верно равенство:

\(k=n^m\)

Логарифм будет иметь смысл только при соблюдении ряда условий:

\(k>0,\;\;k\neq1,\;\;n>0\)

Примечание

Если за основание логарифма взята цифра 10, то такой логарифм называется десятичным. Его принято обозначать знаком lg и не указывать основание, равное 10. Например, правильно записывать lg 20, а не log₁₀ 20.

Десятичные логарифмы обладают теми же особенностями, что и любые другие логарифмы при основании больше, чем 1.  Например, большему из нескольких положительных чисел будет соответствовать и больший десятичный логарифм. Десятичный логарифм числа, которое больше 0, но меньше 1, будет отрицательным, а больше единицы – положительным.

Десятичные логарифмы обладают рядом характерных признаков:

1. Десятичный логарифм положительного целого числа, представленного единицей и следующими за ней нулями, представляет собой целое неотрицательное число, которое будет равно количеству нулей в записи выбранного числа: lg 10=1, lg 10000=4.
2. Десятичный логарифм десятичной неотрицательной дроби, записанной как единица с предыдущими нулями, будет равен (-m). В этом случае m – количество нулей, предшествующих единице, в том числе с учетом и нулевой целой части: lg 0,1=-1, lg 0,0001=-4.
3. Если умножить число на 10^m, то десятичный логарифм увеличится на число m. Это можно записать формулой: lg (a10^m) = lg a + lg 10^m = lg a + m.
4. Если разделить число на 10^k, то его десятичный логарифм станет меньше на k.

Определение и формулы десятичного логарифма

В алгебре свойства десятичных логарифмов описываются целым рядом формул. Их использование позволяет значительно проще решать сложные задачи, снижает вероятность ошибок.

Основными формулами десятичных логарифмов являются:

\(1.\;lg\;1=\;0\\2.\;lg\;10\;=\;1\\3.\;lg\;(xy)\;=\;lg\;(x)\;+\;lg\;(y)\\4.\;lg\;\left(\frac xy\right)\;=\;lg\;(x)\;-\;lg\;(y)\\5.\;lg\;\left(x^m\right)\;=\;mlg\;(x)\\6.\;lg\;\sqrt[p]x\;=\;\frac{lg\;(x)}p\)

До изобретения калькуляторов вышеописанные формулы использовались очень широко. Например, они позволяют с легкостью выполнить умножение многозначных чисел. Для этого необходимо воспользоваться простым алгоритмом:

• найти по таблице логарифмы заданных чисел;
• в соответствии с третьим свойством сложить их и получить логарифм произведения;
• по полученному логарифму используя таблицу найти и само произведение чисел.

Аналогичным образом можно выполнить и деление многозначных чисел. Только в данном случае логарифмы следует не складывать, а вычитать.

Использование десятичных логарифмов дает возможность даже без калькулятора выполнить извлечение из корня или возведение в степень.

В настоящее время десятичные логарифмы практически полностью вытеснены натуральными. Они сохраняются только в исторически укоренившихся областях математики, например, в построении логарифмической шкалы.  

Отрицательные десятичные логарифмы представляют в искусственной форме. В ней они имеют отрицательную характеристику и положительную мантиссу.

Рассмотрим пример:

\(lg\;(0.005)\;=\;\overset-3.69897\\\)

Иначе эту запись можно представить так:

\(lg\;(0.005)\;=\;\overset-3.69897=\;-3\;=\;0.69897=\;-2.30103\\\)

Для перевода десятичного отрицательного логарифма в искусственную форму необходимо увеличить на единицу абсолютную величину характеристики. Над полученным числом поставить знак «минус». Вычесть из девяти все цифры мантиссы кроме последней, не равной нулю.

Ее следует вычесть из десяти. Полученные в ходе вычитания разности записать на тех же местах мантиссы, где находились вычитаемые числа. Нули на конце остаются без изменений.

График десятичного логарифма

При рассмотрении логарифмируемого числа в качестве переменной получаем функцию:

\(y\;=\;lg\;(x)\\\)

Она будет определена при всех значениях x больше нуля. Область значений функции лежит в пределе:

\(E_{(y)}=(-\infty;\;+\infty)\\\)

График десятичного логарифма представляет кривую линию, называемую логарифмикой.

Всюду, где функция определена, она дифференцируема, непрерывна и монотонно возрастает. Ее производную можно задать формулой:

\(\frac d{d_x}=lg\;x\;=\frac{lg\;e}x\\\)

Ось ординат рассматриваемой функции является вертикальной асимптотой, так как

\(\underset{x\rightarrow0+0}{\lim\;lg\;x}=\;-\infty\\\)

Как правильно решать задачи на десятичных логарифмах, примеры

Рассмотрим примеры решения задач с использованием десятичных логарифмов.

Задача 1. Вычислить значение выражения

\(lg\;\left(400\right)\;+\;lg\;\frac1{40}\)

Для решения данного примера воспользуемся формулой суммы:

\(lg\;\left(400\right)\;+\;lg\;\frac1{40}\;=\;lg\;\left(\frac{400\times1}{40}\right)=\;lg\;10\;=\;1\)

Задача 2. Упростите выражение:

\(lg\;\frac18\;-\;3\;lg\;4\)

В данном случае необходимо воспользоваться формулой степени:

\(lg\;\frac18\;-\;3\;lg\;4\;=\;lg\;2^{-3}\;-\;3\;lg\;2^2\;=\;-3lg\;-\;3\times2\;lg\;2\;=\;-9\;lg\;2\)

Задача 3. Вычислить значение выражения

\(3\;lg\;0.09\;-\;2\;lg\;27\)

Воспользуемся свойством логарифма степени и получим:

\(3\;lg\;0.09\;-\;2\;lg\;27\;=\;3lg\;\left(\frac3{10}\right)^2\;-\;2\;lg\;3^3\;=\;3\times2\;lg\frac3{10}\;-\;2\times3\;lg\;3\;=\;6\;lg\;\frac3{10}\;-\;6\;lg\;3\)

Теперь применим свойство частного, откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(6\;lg\;\frac3{10}\;-\;6\;lg\;3\;=\;6\;(lg\;3\;-\;lg\;10)\;-\;6\;lg3\;=\;6\;lg\;3\;-\;6\;lg\;10\;-\;6\;lg\;3=\;-\;6\;lg\;10=\;-6\times1\;=\;-6\)