Уравнение директрисы параболы

Что такое директриса параболы

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

\(y^2\;=\;2px\)

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

\(y^2\;=\;-\;2px\)

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

\(х\;=\;-\frac р2\)

Если вершину перенести в точку \((x_0;\;y_0)\), отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:

\({(y\;-\;y_0)}^2\;=\;2p\;\times\;(x\;-\;x_0)\)

Алгоритм расчета

1. Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
2. Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
3. Введем новые переменные \((x_1;\;y_1)\), чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
4. Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
5. Вернемся к старым координатам, заменив \((x_1;\;y_1)\) на х и y.

Фокус параболы

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Примеры решения задач

Задача №1

Составить уравнение директрисы параболы \(y^2\;=\;6x\).

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

\(2р = 6 \)

\(р = 3\)

\(\frac р2\;=\;\frac32\)

Уравнение директрисы — \(х\;=\;-\frac р2.\)

В данном случае оно будет выглядеть так:

\(х\;=\;-\;\frac32\)

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением \(4х^2\;-\;12х\;+\;y\;+\;6\;=\;0.\)

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

\(4х^2\;-\;12х\;+\;y\;+\;6\;=\;0\;\Rightarrow\;4(х^2\;-\;3х)\;+\;y\;+\;6\;=\;0\;\Rightarrow\;\;4((х^2\;-\;2\;\times\frac32х\;+\;\frac94)\;-\;\frac94)\;+\;y\;+\;6\;=\;0\;\Rightarrow\;\)

\(\;\Rightarrow\;(4\;{(х\;-\;\frac32)}^2\;-\;9\;+\;y\;+\;6\;=\;0\;\Rightarrow\;y\;-\;3\;=-\;4\;{(х\;-\;\frac32)}^2\;\Rightarrow\;{(х\;-\;\frac32)}^2\;=\;-\;\frac14\;(y\;-\;3)\)

Пусть \((y — 3)\) будет \(y_1\), а \((х\;-\;\frac32)\) — \(х_1\).

Тогда, перенеся начало координат в точку \((x_1;\;y_1)\), получим каноническое уравнение \(х_1^2\;=\;-{\textstyle\frac14}y_1\).

\(2р\;=\;\frac14\;\Rightarrow\;р\;=\;\frac18\;\Rightarrow\;\frac р2\;=\;\frac1{16}\)

Тогда уравнение директрисы — \(y_1=\;\frac1{16}\).

Заменив \(y_1\) на \((y — 3)\), получим уравнение: \(y\;–\;3\;=\;\frac1{16}\)

Следовательно, \(y\;–\;\frac{49}{16}\;=\;0\).

В старой системе координат уравнение директрисы:

\(16у — 49 = 0, у\;=\;\frac{49}{16}\).