Графики функций и их формулы

Что такое график функции

На плоскости он представляется как набор точек, координаты которых соответствуют аргументам и значениям функции. Горизонтальная ось обычно представляет собой ось аргументов (независимой переменной), а вертикальная ось — ось значений функции (зависимой переменной).

График функции может иметь различные формы, такие как прямые линии, параболы, гиперболы, экспоненциальные кривые и другие. Визуальное представление графика позволяет легче анализировать поведение функции, находить экстремумы (минимумы и максимумы), определять интервалы возрастания и убывания, а также делать выводы о её свойствах. Играют важную роль в математике, науках, инженерии и других областях, где требуется анализировать и визуализировать зависимости между переменными.

Декарт вводит свою систему координат — способ представления точек на плоскости с помощью пар вещественных чисел.

Какие бывают

Графики функций могут быть классифицированы по различным критериям. Вот некоторые общие классификации:

1. По форме:

   • прямая линия (линейная функция);
   • парабола (квадратичная функция);
   • гипербола (рациональная функция);
   • экспоненциальная кривая (экспоненциальная функция);
   • логарифмическая кривая (логарифмическая функция);
   • тригонометрические кривые (синусоиды, косинусоиды и др.).

2. По поведению:

   • функции возрастания и убывания;
   • монотонные функции (всегда убывающие или возрастающие);
   • ограниченные функции (ограниченные сверху или снизу);
   • функции с экстремумами (минимумы и максимумы);
   • функции с точками перегиба.

3. По периодичности:

   • периодические функции (функции, которые повторяются через определенные интервалы).

4. По асимптотам:

   • функции с горизонтальными или вертикальными асимптотами.

5. По числу аргументов:

   • одномерные функции (зависят от одного аргумента);
   • многомерные функции (зависят от нескольких аргументов).

6. По типу переменных:

   • действительные функции (работают с действительными числами);
   • комплексные функции (работают с комплексными числами).

7. По области определения и значений:

   • определенные функции (имеют определение для всех возможных значений аргумента);
   • частично определенные функции (имеют ограниченную область определения).

Формулы

Вот некоторые примеры функций вместе с их формулами:

1. Линейная функция: Формула: f(x)=ax+b, где a — коэффициент наклона, b — свободный член.

2. Квадратичная функция: Формула: f(x)=ax2+bx+c, где a, b и c — коэффициенты.

3. Экспоненциальная функция: Формула: f(x)=a⋅ebx, где a и b — коэффициенты, e — число Эйлера (примерно 2.71828).

4. Логарифмическая функция: Формула: $f(x)=a\cdot \ln (bx)$, где a и b — коэффициенты, ln⁡ — натуральный логарифм.

5. Синусоидальная функция (синус или косинус): Формула: $f(x)=A\cdot \sin (bx+c)$ или $f(x)=A\cdot \cos (bx+c)$, где A — амплитуда, b — коэффициент частоты, c — смещение.

6. Параболическая функция: Формула: f(x)=ax2+bx+c, аналогичная квадратичной функции.

7. Гиперболическая функция: Пример: f(x)=xa​, где a — коэффициент.

8. Полиномиальная функция: Пример: f(x)=a_n​xⁿ+a_n−1​xⁿ⁻¹+…+a₁​x+a₀​, где a_i​ — коэффициенты, n — степень полинома.

Как построить

Построение графиков функций — это процесс построения графика (кривой) соответствующей функции. Построение графиков базовых функций, таких как линейная, квадратичная, кубическая и т.д., довольно просто, а построение графиков сложных функций, таких как рациональная, логарифмическая и т.д., требует определенных навыков и понимания некоторых математических понятий.

Графиком функции f называется множество всех точек на плоскости вида (x, f(x)). График функции f можно также определить как график уравнения y = f(x). Таким образом, график функции является частным случаем графика уравнения.

При построении графиков функций мы выполняем следующие действия:

1. Найдите область действия функции.
2. Найдите и постройте графики x- и y-пересечений.
3. Найдите асимптоты по вертикали, горизонтали и наклону и проведите пунктирные линии, чтобы разбить график вдоль этих линий и убедиться, что график не касается их.
4. Создайте таблицу значений, взяв несколько произвольных значений x (по обе стороны от x-интерцепта и по обе стороны от вертикальной асимптоты) и вычислив соответствующие значения y.
5. Постройте точки из таблицы и соедините их с помощью асимптот, области и диапазона.

Основная концепция построения графиков функций заключается в следующем:

1. Если возможно, определите форму. Если это линейная функция вида f(x) = ax+ b, то ее графиком является прямая; если квадратичная функция вида, то графиком является парабола.
2. Нахождение некоторых точек на ней путем подстановки произвольных значений x и нахождение соответствующих значений y путем подстановки каждого значения в функцию.

Источник: unacademy.com

Постоянной функцией называется любая функция вида f(x)=c, где c может быть любым действительным числом. Постоянные функции линейны и имеют вид f(x)=0x+c. Из этой формы видно, что наклон равен 0, а перекресток y - (0,c). С получается при вычислении любого значения x, например x=2.

Графиком постоянной функции является горизонтальная линия. Доменная область состоит из всех действительных чисел R, а область действия — из единственного значения c.

Примеры решения задач

Решение:

Подставим каждую точку в заданную функцию и посмотрим, какая из них удовлетворяет функции.

(a) (1, 1) = (x, f(x))

1 = 2(1)3 - 2
1 = 2 - 2
1 = 0, нет

Таким образом, (1, 1) НЕ лежит на графике функции.

(b) (1, 0) = (x, f(x))

0 = 2(1)3 - 2
0 = 2 - 2
0 = 0, да

Таким образом, (1, 1) находится на графике функции.

(c) (2, 6) = (x, f(x))

6 = 2(2)3 - 2
6 = 16 - 2
6 = 14, нет.

Таким образом, (2, 6) НЕ лежит на графике функции.

Ответ: Только (b) лежит на заданной функции.

Решение: Данная функция f(x) = 2x3 - 2 является полиномиальной функцией и, следовательно, не имеет асимптот. Если асимптоты отсутствуют, то при построении графика функции мы получим только одну кривую (так как кривая нигде не ломается).

Ответ: Асимптоты отсутствуют, и кривая только одна.

Решение: Ранее мы уже выяснили, что точка (1, 0) лежит на графике функции f(x) = 2x3 - 2. Для построения графиков функций необходимо большее количество точек. Для этого построим таблицу.

Нанесем эти точки на график (1, 0) и построим его.

Источник: cuemath.com

Решение:

Начнем со значений x -2,-1,0,1 и 2, затем воспользуемся уравнением f(x)=x3 для определения пар (x, f(x)) (например, f(-2)=(-2)3=-8). Они приведены в таблице.

Построение пар (x, f(x)), определяемых уравнением f(x)=x3.

Источник: math.libretexts.org

Затем строим график точек из таблицы в декартовой системе координат, как показано на рисунке. Добавим в нашу таблицу еще несколько пар и построим их график. Это показано ниже:

Построение дополнительных пар (x, f(x)), определяемых уравнением f(x)=x3.

 

Источник: math.libretexts.org

Окончательный график f(x)=x3:

Источник: math.libretexts.org