Координаты фокуса параболы: как найти, формула

Формулировка параболы в алгебре и геометрии

Парабола является коническим сечением, или коникой. Это значит, что она возникает при пересечении плоскости с поверхностью кругового конуса. Плоскость сечения при этом параллельна одной из касательных плоскостей конуса.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Что такое фокус параболы, определение

Если в фокус поместить источник света, все исходящие из него световые лучи после отражения от нее пойдут по прямым, параллельным оси симметрии. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке. Это оптическое свойство широко применяется в конструкциях прожекторов, фар, фонарей, телескопов-рефлекторов.

Как найти фокус параболы

Уравнение расчета

Каноническое уравнение:

\(y^2\;=\;2px\)

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

\(y^2\;=\;-\;2px\)

Параметр p — расстояние от фокуса до директрисы, которая определяется уравнением:

\(х\;=\;-\frac p2\)

Чтобы узнать расстояние r от любой точки параболы до фокуса, равное ее расстоянию до директрисы, нужно воспользоваться формулой:

\(r\;=\;\frac p2\;+\;x\)

В полярной системе координат с центром в фокусе и направлением вдоль оси фокальный параметр можно найти по формуле:

\(p\;=\;\rho\;\times\;(1\;+\;\cos\left(\vartheta\right))\)

Чему равны координаты фокуса

Фокус будет иметь координаты \((\frac p2;\;0)\).

Абсцисса фокуса параболы

Также фокус и параметр p можно искать через так называемую фокальную хорду \(Р_1Р_2\).

Эта прямая, проходящая через фокус и параллельная директрисе, пересекает параболу в двух точках. Половина длины фокальной хорды будет равна параметру p, являясь абсолютной величиной ординаты любой из точек \(Р_1, Р_2\).

Абсцисса каждой из этих точек будет равна абсциссе фокуса \(\frac p2\).

Для ординаты y каждой из точек \(Р_1, Р_2\):

\(y^{2\;}=\;2p\;\times\;\frac p2\;=\;p^2\).

Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Пример 1

Определить координаты фокуса параболы \(y^{2\;}=\;4х\).

Решение

Находим параметр p:

4 = 2p

p = 2

Координаты (1; 0).

Пример 2

Определить координаты фокуса параболы \(y^{2\;}=\;6х\).

Решение

Находим параметр p:

6 = 2p

p = 3

Координаты (1,5; 0).