Координаты фокуса параболы: как найти, формула

Формулировка параболы в алгебре и геометрии

Определение

Парабола — совокупность точек на плоскости, расположенных на одинаковом удалении от фокуса F и директрисы d, в которую точка F не входит.

Парабола
 

Парабола является коническим сечением, или коникой. Это значит, что она возникает при пересечении плоскости с поверхностью кругового конуса. Плоскость сечения при этом параллельна одной из касательных плоскостей конуса.

Парабола в конусе
 

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Что такое фокус параболы, определение

Определение

Расстояние от точки фокуса до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Если в фокус поместить источник света, все исходящие из него световые лучи после отражения от нее пойдут по прямым, параллельным оси симметрии. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке. Это оптическое свойство широко применяется в конструкциях прожекторов, фар, фонарей, телескопов-рефлекторов.

Как найти фокус параболы

Уравнение расчета

Каноническое уравнение:

\(y^2\;=\;2px\)

Парабола на оси
 

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

\(y^2\;=\;-\;2px\)

Парабола отрицательное уравнение
 

Параметр p — расстояние от фокуса до директрисы, которая определяется уравнением:

\(х\;=\;-\frac p2\)

Чтобы узнать расстояние r от любой точки параболы до фокуса, равное ее расстоянию до директрисы, нужно воспользоваться формулой:

\(r\;=\;\frac p2\;+\;x\)

В полярной системе координат с центром в фокусе и направлением вдоль оси фокальный параметр можно найти по формуле:

\(p\;=\;\rho\;\times\;(1\;+\;\cos\left(\vartheta\right))\)

Чему равны координаты фокуса

Фокус будет иметь координаты \((\frac p2;\;0)\).

Абсцисса фокуса параболы

Также фокус и параметр p можно искать через так называемую фокальную хорду \(Р_1Р_2\).

Хорда параболы
 

Эта прямая, проходящая через фокус и параллельная директрисе, пересекает параболу в двух точках. Половина длины фокальной хорды будет равна параметру p, являясь абсолютной величиной ординаты любой из точек \(Р_1, Р_2\).

Абсцисса каждой из этих точек будет равна абсциссе фокуса \(\frac p2\).

Для ординаты y каждой из точек \(Р_1, Р_2\):

\(y^{2\;}=\;2p\;\times\;\frac p2\;=\;p^2\).

Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Пример 1

Определить координаты фокуса параболы \(y^{2\;}=\;4х\).

Решение

Находим параметр p:

4 = 2p

p = 2

Координаты (1; 0).

Пример 2

Определить координаты фокуса параболы \(y^{2\;}=\;6х\).

Решение

Находим параметр p:

6 = 2p

p = 3

Координаты (1,5; 0).

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.81 (Голосов: 16)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»