Как найти факториал натурального числа по формуле — примеры решения задач

Определение факториала

Факториал — это математическая функция, которая применяется к положительным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от единицы до вычисляемого числа. 

Факториал обозначается «n!». 

Для представления факториала, приведем простой его пример: \(5!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\;=\;120.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

 

Для нахождения факториала необходимо просто по очереди перемножить все положительные натуральные числа от единицы до вычисляемого числа включительно. 

Факториал математически выглядит следующим образом:

\(n!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\;=\;\prod_{k=1}^nk.\)

Факториал применяется в различных разделах математики, но активно он используется, когда речь заходит о комбинациях, перестановках, теории чисел, комбинаторике, математическом анализе и так далее. 

В комбинаторике факториал числа n обозначает количество перестановок множества из n элементов.

Формула факториала

Из определения факториала следует формула:

Важно 3

\((n\;-\;1)!\;=\;\frac{n!}n.\)

 

Расшифровав формулу, можно сделать вывод, что если мы знаем факториал числа, то можно найти факториал предыдущего числа путем деления значения факториала на само число.

 

Также из формулы следует, что при n=1 факториал 0!=1. 

Примеры задач с решениями

Задача 1

В комнате стоит стол, вокруг которого стоят четыре стула. В комнату заходят четыре человека. Вычислите количество вариантов для рассаживания четырех человек вокруг стола.

Решение: так как количество стульев и людей совпадают, мы можем вычислить количество вариантов с помощью факториала.

\(n\;=\;4,\\4!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\;=\;24\)

Ответ: всего 24 варианта рассаживания четырех человек.

Задача 2

Вычислите \(\frac{3!-2!}4.\)

Решение:

\(\frac{2!\cdot(3-1)}4=\frac{2!\cdot2}4=\frac44=1.\)

Ответ: 1.

Задача 3

В расписании 11 класса на понедельник должно быть 5 предметов: алгебра, русский язык, литература, физика и геометрия. Сколько существует способов для составления расписания на этот день?

Решение: 

\(n\;=\;5,\\5!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\;=\;120.\)

Ответ: 120 способов.

Задача 4

Сколько существует способов для составления указанного выше расписания из тех же 5 предметов, если требуется, чтобы урок геометрии был последним?

Решение:

\(n\;=\;4,\\4!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\;=\;24.\)

Ответ: 24 способа.

Задача 5

Сколько существует способов для составления расписания из указанных выше 5 предметов, в котором алгебра и русский язык стояли бы рядом?

Решение:

\(n\;=\;4,\\4!\cdot2=\;(1\cdot2\cdot3\cdot4)\cdot2\;=\;48.\)

Ответ: 48 способов.

Задача 6

Вычислите \(\frac{5!-3!}{3!}.\)

Решение: 

\(\frac{3!\cdot(4\cdot5-1)}{3!}\frac{6\cdot19}6=\frac{114}6=19.\)

Ответ: 19.

Задача 7

Вычислите \(С_4^2.\)

Решение:

\(С_n^m\;=\;\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}\)

\(C_4^2\;=\;\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{2!\cdot3\cdot4}{2!\cdot2!}=\frac{12}2=6.\)

Ответ: 6.

Задания для самостоятельной работы

Задача 8

Вычислите \(\frac{8!-6!}{55}.\)

Задача 9

Вычислите \(\frac{121!-120!}{120!}\).

Задача 10

Вычислите \(С_5^3.\)

Задача 11

Вычислите \(С_{12}^{11}\)

Задача 12

Шесть друзей приобрели билеты в кино на 1-е, 2-е, 3-е места в третьем ряду, и на 1-е, 2-е, 3-е места в четвертом ряду. Сколько существует способов рассадки друзей на эти шесть мест в кинотеатре?

Задача 13

Сколько существует способов выбрать четырех дежурных из класса, в котором 20 человек?

Подсказка: используйте формулу \(С_n^m\;=\;\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}.\)

Задача 14

Вычислите 4!-3!.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»