Формулы двойного угла в тригонометрии

Что в рамках тригонометрии называется формулой двойного угла

Далее по тексту статьи будут рассмотрены абсолютно все главные формулы на дублетный угол, варианты доказательств данных выражений, а также примеры их использования. Также будет упомянуто, каким образом можно сформировать формулу не двойного, а тройного, четверного и т.д. углов, будут подробно разобраны способы их вычисления.

Главные формулы на дублетный угол, что используются в алгебре

Перед началом работы выражениями из тригонометрии нужно освежить в памяти тот факт, что в процессе записывания косинусных, синусных, тангенсных и котангенсных выражений углов с формой \(n\alpha\), где n – какое-либо натуральное число, как правило, аргумент \(n\alpha\) записывается без использования скобок. Имейте ввиду, что записи, подобные \(\sin{n}\alpha\ \) и \(\sin^{n}\alpha\) имеют формульными величинами \(\sin\left(n\alpha\right)\) и \(\left(\sin\alpha\right)^{n}\), соответственно. Подобный закон реализуется в отношении других тригонометрических записей со степенью n.

Абсолютно все выражения на вычисление двойного угла

Выражения на вычисление дублетного угла можно записать следующим образом:

\(\sin2\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\)

\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha, \cos2\alpha=1-2\cdot\sin^{2}\alpha, \cos2\alpha=2\cdot\cos^{2}\alpha-1\)

\(\tan2\alpha=\frac{2\cdot\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\)

\(\cot2\alpha=\frac{\cot^{2}\alpha-1}{2\cdot\cot\alpha}\)

Такие формы косинусных выраженией и синусных выражений угла \(2\alpha\) применимы к каждому углу \(\alpha\), однако в отношении котангенсных и тангенсных выражений необходимо выполнение следующих условий: 

• в отношении тангенских выражений на угол \(2\alpha\) должна быть справедлива формула \(\tan2\alpha\) (выводится из выражения \(\alpha\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\cdot{z}\), в которой z – произвольное цельная цифра); 
• в отношении котангенсных выражений должна быть справедлива формула \(\cot2\alpha\) (т.е. \(\alpha\neq\frac{\pi}{2}\cdot{z}\)).

Все три приведенные выше формулы для вычисления косинусных выражений на угол \(2\alpha\) равнозначны и применимы для вычислений в зависимости от определенной задачи. Любое из рассмотренных выражений дублетных углов можно использовать как в одну, так и в другую сторону.

Доказательство выражений дублетных углов

Подтверждение выражений дублетных углов формируется на основе формул сложения, поэтому не представляет больших проблем. В случае, когда в синусных выражениях совокупность \(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta\) и совокупность выражений косинусных \(\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cdot\sin\beta-\sin\alpha\cdot\cos\beta\) предположить, что \(\alpha=\beta\), в итоге будет \(\sin\left(\alpha+\alpha\right)=\sin\alpha\cdot\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\sin\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\) и \(\cos\left(\alpha+\alpha\right)=\cos\alpha\cdot\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\sin\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\). Так, из этого выводится доказательство следующих синусных выражений и косинусных выражений на дублетный угол: \(\sin2\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha и \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\). 

Для подтверждения тангенсных выражений и котангенсных выражений понадобятся приведенные ранее синусные и косинусные выражения и такие формулы, как:

\(\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} и \cot2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\). Из этого следует, что \(\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha} и \cot2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}\)

Далее делим числитель и знаменатель из первого уравнения на \(\cos^{2}\alpha\), где \(\cos^{2}\alpha\neq0\), а кратное и делитель другого нужно поделить на следующее значение: \(\sin^{2}\alpha\) (при таком же условии \(\\sin^{2}\alpha\neq0\)). Получается, что у подтверждения выражения дублетного угла тангенсного и котангенсного выражений будет такая форма: 

\(\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}=\frac{\frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha}}{\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}=\frac{2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}=\frac{2\cdot\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha} и \\cot2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=\frac{\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}}{\frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha}}=\frac{\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}-1}{2\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\frac{\cot^{2}\alpha-1}{2\cdot\cot\alpha}.\)

Практическое использование формул дублетного угла

Далее перед нами стоит задача рассмотреть сферы употребления выражений дублетного угла на нескольких определенных математических иллюстрациях. Возьмем за основу значение угла \(\alpha=30^{\circ}\), так как нам известны четкие величины угольных функций тригонометрии \(\alpha\) и \(2\alpha\) (равен \(60^{\circ} \) ). Так, мы сможем сделать проверку выражений дублетных углов. Сначала мы имеем следующие равенства: \(\sin60^{\circ}=2\cdot\sin30^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}\), \(\cos60^{\circ}=\cos^{2}30^{\circ}-\sin^{2}30^{\circ}, \tan60^{\circ}=\frac{2\cdot\tan30^{\circ}}{1-\tan^{2}30^{\circ}}, \cot60^{\circ}=\frac{\cot^{2}30^{\circ}-1}{2\cdot\cot30^{\circ}}\).

Приведенные вычисления служат подтверждением выражений дублетных углов для \( \alpha=30^{\circ}\) .

Получается, что доминирующая сфера употребления выражений с углом  \(2\alpha\) — трансформация формул тригонометрии. Посмотрим на то, как будут использоваться формулы, если у угла не будет формы \(2\alpha\). Можно задаться вопросом: будет ли действовать выражение дублетного угла, если величина для получения результата будет \(\frac{3\pi}{5}\), тогда \(\alpha=\frac{3\pi}{5}\div2=\frac{3\pi}{10}\).

Следовательно, в данном случае получаем следующие вычисления \(\cos\frac{3\pi}{5}=\cos^{2}\frac{3\pi}{10}-\sin^{2}\frac{3\pi}{10}\).

Сначала рассмотрим очевидное тождество \(\frac{2\alpha}{3}=4\cdot\frac{\alpha}{6}\). Из этого следует, что возможно проявить \(\sin\frac{2\alpha}{3}\) посредством угловых функций тригонометрии \(\frac{\alpha}{6}\), если используем не один раз, а два подряд выражения дублетного угла. 

В первую очередь используем синусное выражение, получаем:

\(\sin\frac{2\alpha}{3}=2\cdot\sin\frac{\alpha}{3}\cdot\cos\frac{\alpha}{3}\). А теперь к равенствам \(\sin\frac{\alpha}{3} и \cos\frac{\alpha}{3}\) используем нужные им выражения дублетного угла:

\(\sin\frac{2\alpha}{3}=2\cdot\sin\frac{\alpha}{3}\cdot\cos\frac{\alpha}{3}=2\cdot\left(2\cdot\sin\frac{\alpha}{6}\cdot\cos\frac{\alpha}{6}\right)\cdot\left(\cos^{2}\frac{\alpha}{6}-\sin^{2}\frac{\alpha}{6}\right)=4\cdot\sin\frac{\alpha}{6}\cdot\cos^{3}\frac{\alpha}{6}-4\cdot\sin^{3}\frac{\alpha}{6}\cdot\cos\frac{\alpha}{6}.\)

Ответ:

\(\sin\frac{2\alpha}{3}=4\cdot\sin\frac{\alpha}{6}\cdot\cos^{3}\frac{\alpha}{6}-4\cdot\sin^{3}\frac{\alpha}{6}\cdot\cos\frac{\alpha}{6}\)

Вычисление выражений тройного угла, четверного угла и других типов углов

По аналогии с выражениями дублетного угла возможно вывести нужные для расчетов формы триплетного угла, четверного угла и других типов углов. Попробуем создать выражения триплетного угла с применением уже известных нам формул на суммирование и выражение дублетного угла. 

\(\sin3\alpha=\sin\left(2\alpha+\alpha\right)=\sin2\alpha\cdot\cos\alpha+\cos2\alpha\cdot\sin\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\cos\alpha+\left(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\right)\cdot\sin\alpha=3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha\)

Если в полученном выражении

\(\sin3\alpha=3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha\) возможно провести замену показателя \(\cos^{2}\alpha\) на показатель \(1-\sin^{2}\alpha\), в таком случае у тождества будет следующая рабочая форма:

\(sin3\alpha=3\cdot\sin\alpha-4\cdot\sin^{3}\alpha\)

Есть вариант снова сделать замену в данной формуле показателя \(\sin^{2}\alpha\) на показатель \(1-\cos^{2}\alpha\), в таком случае она получит такую форму: \(\cos3\alpha=-3\cdot\cos\alpha+4\cdot\cos^{3}\alpha\) 

Посредством выражений, чтобы были применены сейчас, возможно вывести также тангенсные формулы тройного угла и для котангенса тройного угла. Это делается таким образом: 

\(\tan3\alpha=\frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha}=\frac{3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha}{\cos^{3}\alpha-3\cdot\sin^{2}\alpha\cdot\cos\alpha}=\frac{\frac{3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha}{\cos^{3}\alpha}}{\frac{\cos^{3}\alpha-3\cdot\sin^{2}\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos^{3}\alpha}}=\frac{3\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin^{3}\alpha}{\cos^{3}\alpha}}{1-3\cdot\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}=\frac{3\cdot\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1-3\cdot\tan^{2}\alpha}\)

\(\cot3\alpha=\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha}=\frac{\cos^{3}\alpha-3\cdot\sin^{2}\alpha\cdot\cos\alpha}{3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha}=\frac{\frac{\cos^{3}\alpha-3\cdot\sin^{2}\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin^{3}\alpha}}{\frac{3\cdot\sin\alpha\cdot\cos^{2}\alpha-\sin^{3}\alpha}{\sin^{3}\alpha}}=\frac{\frac{\cos^{3}\alpha}{\sin^{3}\alpha}-3\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{3\cdot\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}-1}=\frac{\cot^{3}\alpha-3\cdot\cot\alpha}{3\cdot\cot^{2}\alpha-1}\)

Для извлечения выражения четверного угла, возможно произвести разложение \(4\alpha\) до состояния \(2\cdot2\alpha\). После данных действий нужно постепенно два раза применить формулы двойного угла. Для нахождения формулы пятерного угла, возможно сделать разложение \(5\alpha\) до состояния \(3\alpha+2\alpha\). И уже после данного действия необходимо использовать формулу суммирования. К тому же, в вычисления необходимо добавить формулы двойного угла и тройного угла. По такому же принципу выводят иные выражения для всех кратных углов в тригонометрии. 

Стоит обратить внимание на то, что решать с ними задачи практически никогда не нужно, из-за этого и выведение данных формул не имеет никакого смысла. В очень редких задачах просят использовать формулу пятерного (или другого кратного) угла. 

Примеры задач на формулу двойного угла (программа старшей школы по алгебре, задачи ЕГЭ)

Решение: 

Итак, исходное выражение выглядит следующим образом: \(\sqrt{12}\cos^{2}\frac{5\pi}{12}-\sqrt{3}\). С самого начала не особо понятно, какие действия с данным уравнение можно совершить. Решение на самом деле действительно сложное. В рамках математики, а особенно в рамках тригонометрии, прекрасным вариантом нахождения правильного решения для уравнения является способ совершения простейших действий. В данном случае возможно совершить преобразование \(\sqrt{12}\). Данное число возможно разложить. Таким образом: \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\).

Сейчас уравнение примет такой вид: \(2\sqrt{3}\cos^{2}\frac{5\pi}{12}-\sqrt{3}\). Следующее действие — вынести за рамки \(\sqrt{3}\). Получается: \(\sqrt{3}(2\cos^{2}\frac{5\pi}{12}-1)\). Так уравнение приняло форму косинусного выражения дублетного угла. Продолжаем действия с формой: \(\sqrt{3}\cos(2\times\frac{5\pi}{12})\). Сейчас возможно провести сокращение 2, а также 12. Будет: \(\sqrt{3}\cos(\frac{5\pi}{6})\). Далее проводим разложение: \(\frac{5\pi}{6}:\frac{5\pi}{6}=\frac{6\pi-\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}\). 

У изначального уравнения будет такой вид: \(\sqrt{3}\cos(\pi-\frac{\pi}{6})\). Последнее действие: употребление приведенческой формулы к косиносному выражению: 

• \((\pi-\frac{\pi}{6})\) — находится во второй четверти, проявляется косинусная отрицательность, следовательно, будет знак -; 
• \(\pi\) — располагается в горизонтальной плоскости, не изменяется на функцию. 

\(\cos(\pi-\frac{\pi}{6})=-\cos\frac{\pi}{6} \)

\(-\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}=-\sqrt{3}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Итог: -1,5

Решение:

Сначала мы видим разные значения аргументов. Однако можно заметить, что угол в \(49^{\circ}\) ровно в два раза меньше угла в \(98^{\circ}\). Следовательно, мы можем разложить \(5\cdot\sin98^{\circ}\) по выражению дублетного угла. Так получается следующее выражение: \(\frac{10\cdot\sin49^{\circ}\cdot\cos49^{\circ}}{\sin49^{\circ}\cdot\sin41^{\circ}}\). Далее проводим сокращение одинаковых синусов и приходим к следующему виду: \(\frac{10\cdot\cos49^{\circ}}{\sin41^{\circ}}\). Чтобы перейти к следующему шагу, обращаем внимание на то, что \(49^{\circ}\)угла это \(90^{\circ}-41^{\circ}\). То есть, достаточно заменить \(\cos49^{\circ} на \cos90^{\circ}-41^{\circ}\). Если применить формулу приведения, получим замену функции на кофункцию, то есть \(\cos90^{\circ}-41^{\circ}=\sin41^{\circ}\). Значит, финальная часть вычислений будет выглядеть следующим образом: \(\frac{10\cdot\sin41^{\circ}}{\sin41^{\circ}}=10\).

Ответ: 10.

Решение: 

\(\frac{12\sin11^{\circ}\times\cos11^{\circ}}{\sin22^{\circ}}=\frac{12\sin11^{\circ}\times\cos11^{\circ}}{2\sin11^{\circ}\times\cos11^{\circ}}=\frac{12}{2}=6\)

Итог: 6

Решение: 

Для вычисления необходимо взять косинусное выражение дублетного угла, то есть: \(16\cos2\alpha=16\left(2\cos^{2}\alpha-1\right)=16\times\left(2\times\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-1\right)=16\times\left(2\times\frac{9}{16}-1\right)=16\times\left(\frac{9}{8}-\frac{8}{8}\right)=16-\frac{1}{8}=2\) 

Итог: 2