Формулы куба суммы и куба разности

Куб разности и суммы чисел

Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.

Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике. 

Правило для куба суммы

Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:

\(\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)

Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:

\(\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:

\(\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\)

Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:

\(a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Правило для куба разности

При любых значениях b и c верно равенство:

\(\left(b-c\right)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)

Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:

\(\left(b-c\right)^3=\left(b-c\right)\left(b-c\right)\left(b-c\right)\)

Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:

\(\left(b-c\right)^3=\left(b-c\right)\left(b-c\right)\left(b-c\right)=b^{3-}2b^2c+bc^2-b^2c+2bc^2-c^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\)
 

Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Куб разности трех чисел

Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:

\(\left(a-b-c\right)^3=\left(a-b-c\right)(a-b-c)\left(a-b-c\right)=a^3+ab^2+ac^2-2a^2b-2a^2c+2abc-a^2b-b^3-bc^2+2ab^2+2abc-2b^2c-a^2c-b^2c-c^3+2abc+2ac^2-2bc^2\)

Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:

\(\left(a-b-c\right)^3=a^3-b^3-c^3+3ab^2+3ac^2-3a^2b-3a^2c-3b^2c-3bc^2+6abc\)

Она называется правилом куба разности трехчлена.

Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:

\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3x^2z+3xy^2+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz\)

Примеры задач куба разности и суммы

Пример 1

Раскрыть скобки \(\left(2x-3y^2\right)^3\)

Решение

\(\left(2x-3y^2\right)^3=\left(2x\right)^3-3\left(2x\right)^2\left(3y^2\right)+3\left(2x\right)\left(3y^2\right)^2-\left(3y^2\right)^3=8x^3-36x^2y^2+54xy^4-27y^6\)

Пример 2

Упростить выражение:

\(\frac{27x^3-27x^2+9x-1}{9x^2-6x+1}\)

Решение

Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.

\(\frac{27x^3-27x^2+9x-1}{9x^2-6x+1}=\frac{\left(3x-1\right)^3}{\left(3x-1\right)^2}=3x-1\)