Формулы половинного угла

Что такое формулы половинного угла в тригонометрии

Перечислим их:

• \(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}2\), где \(\alpha\) — любой угол;
• \(\cos^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}2\), где \(\alpha\) — любой угол;
• \(\tan^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}{1+\cos\left(\alpha\right)}\), где \(\alpha\neq\mathrm\pi+2\mathrm\pi\times\mathrm z\)  (z — любое целое число);
• \(\cot^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}{1-\cos\left(\alpha\right)}\), где \(\alpha\neq2\mathrm\pi\times\mathrm z\) (z — любое целое число).

Все формулы половинного угла даны для вычисления квадрата функции. Выражение решается до конца с помощью нахождения арифметического квадратного корня, т.е.:

• \(\sin\left(\frac\alpha2\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}2}\);
• \(\cos\left(\frac\alpha2\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}2}\);
• \(\tan\left(\frac\alpha2\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}{1+\cos\left(\alpha\right)}}\);
• \(\cot\left(\frac\alpha2\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}{1-\cos\left(\alpha\right)}}\).

Знак, стоящий перед ответом, обозначает координатную четверть, в которой находится угол \(\frac\alpha2. \)

График:

Доказательство формул половинного угла

Данное доказательно основано на формулах косинуса двойного угла:

\(\cos\left(\alpha\right)=1-2\times\sin^2\frac\alpha2;\)

\(\cos\left(\alpha\right)=2\times\cos^2(\frac\alpha2)-1.\)

И основных тригонометрических тождествах:

\(\tan\left(\frac\alpha2\right)=\frac{\sin\left({\displaystyle\frac\alpha2}\right)}{\cos\left({\displaystyle\frac\alpha2}\right)};\)

\(\cot\left(\frac\alpha2\right)=\frac{\cos\left(\frac\alpha2\right)}{\sin\left(\frac\alpha2\right)}.\)

Вывод с доказательством через синус, косинус, тангенс и котангенс

Для доказательства формул синуса и косинуса половинного угла используем формулы косинуса двойного угла.

Решим первое равенство относительно \(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)\) для выведения синуса

Решим второе уравнение относительно \(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)\) для выведения косинуса.

Перейдем к приведению тангенса и котангенса половинного угла через тригонометрические тождества.

\(\tan^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{\sin^2\left({\displaystyle\frac\alpha2}\right)}{\cos^2\left(\frac\alpha2\right)}=\frac{\displaystyle\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}2}{\displaystyle\frac{1+\cos(\alpha)}2}=\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}{1+\cos\left(\alpha\right)} \)

\(\cot^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{\cos^2\left({\displaystyle\frac\alpha2}\right)}{\sin^2\left(\frac\alpha2\right)}=\frac{\displaystyle\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}2}{\displaystyle\frac{1-\cos(\alpha)}2}=\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}{1-\cos\left(\alpha\right)}\)

ЧТД.

Пример задачи с решением

Задача 1

Косинус угла в 30 градусов равен \(\frac{\sqrt3}2.\)

Найдите косинус угла в 15 градусов.

Решение

Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса. Получим:

\(\cos^2\left(15^\circ\right)=\frac{1+\cos\left(30^\circ\right)}2=\frac{1+{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}}2=\frac{2+\sqrt3}4.\)

Угол в 15 градусов находится в первой координатной четверти. Следовательно, его косинус будет являться положительным. 

Ответ:

\(\cos\left(15^\circ\right)=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2.\)