Формулы понижения степени тригонометрических функций

Понижение степени в тригонометрии

Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.

Применяемые формулы, доказательства

Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).

Формула понижения степени синуса и косинуса

Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:

\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}{(-1)}^{{\textstyle\frac n2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac{\mathrm C_\frac n2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{{\textstyle\frac n2}-1}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

Для нечетных степеней (n = 3, 5, 7, …) в общем виде формулы записываются так:

\(\sin^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}{(-1)}^{{\textstyle\frac{n-1}2}-k}\cdot\mathrm C_k^n\cdot\sin\left((n-2k)\alpha\right)\)

\(\cos^n\left(\alpha\right)=\frac1{2^{n-1}}\cdot\sum_{k=0}^{\textstyle\frac{n-1}2}\mathrm C_k^n\cdot\cos\left((n-2k)\alpha\right)\)

На практике чаще всего используются формулы для второй степени, немного реже — для третьей и четвертой. Выглядят они так:

\(\sin^2\left(\alpha\right)=\frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}2\)

\(\cos^2\left(\alpha\right)=\frac{1+\cos\left(2\alpha\right)}2\)

\(\sin^3\left(\alpha\right)=\frac{3\sin\left(\alpha\right)-\sin\left(3\alpha\right)}4\)

\(\cos^3\left(\alpha\right)=\frac{3\cos\left(\alpha\right)+\cos\left(3\alpha\right)}4\)

\(\sin^4\left(\alpha\right)=\frac{3-4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}8\)

\(\cos^4\left(\alpha\right)=\frac{3+4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}8\)

Понижение степени тангенса и котангенса

Формулы понижения степени для тангенса и котангенса выводятся исходя из определения этих тригонометрических функций. Тангенс — частное при делении синуса на косинус, котангенс — наоборот. Готовые формулы имеют следующий вид:

\(tg^2\left(\alpha\right)=\frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}{1+\cos\left(2\alpha\right)}\)

\(ctg^2\left(\alpha\right)=\frac{1+\cos\left(2\alpha\right)}{1-\cos\left(2\alpha\right)}\)

\(tg^3\left(\alpha\right)=\frac{3\sin\left(\alpha\right)-\sin\left(3\alpha\right)}{3\cos\left(\alpha\right)+\cos\left(3\alpha\right)}\)

\(ctg^3\left(\alpha\right)=\frac{3\cos\left(\alpha\right)+\cos\left(3\alpha\right)}{3\sin\left(\alpha\right)-\sin\left(3\alpha\right)}\)

\(tg^4\left(\alpha\right)=\frac{3-4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}{3+4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}\)

\(сtg^4\left(\alpha\right)=\frac{3+4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}{3-4\cos\left(2\alpha\right)+\cos\left(4\alpha\right)}\)

Понижать можно любую степень, но с ее увеличением будет расти уровень сложности выражений, получаемых в результате этого действия.

Формулы половинного угла

Несмотря на то, что данные выражения абсолютно самостоятельны и выделяются в отдельный блок, при определенной записи их также можно отнести к формулам понижения степени.

\(\sin^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}2\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}a\cos^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}2\)

\(tg^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1-\cos\left(\alpha\right)}{1+\cos\left(\alpha\right)}\)

\(ctg^2\left(\frac\alpha2\right)=\frac{1+\cos\left(\alpha\right)}{1-\cos\left(\alpha\right)}\)

Вывод формул понижения степени

Рассмотрим доказательства тождеств для синуса и косинуса второй степени. Для вывода потребуются формулы двойного угла:

\(\cos\left(2\alpha\right)=2\cos^2\left(\alpha\right)-1\)

\(\cos\left(2\alpha\right)=1-2\sin^2\left(\alpha\right)\)

Чтобы получить значение косинуса во второй степени, переносим \(2\cos^2\left(\alpha\right)\) в левую часть, \(\cos\left(2\alpha\right)\) — в правую, и избавляемся от минуса. Получаем:

\(2\cos^2\left(\alpha\right)=\cos\left(2\alpha\right)+1\)

Делим обе части уравнения на 2. В итоге остается готовая формула понижения степени для косинуса:

\(\cos^2\left(\alpha\right)=\frac{1+\cos\left(2\alpha\right)}2\)

Для синуса алгоритм действий точно такой же. \(2\sin^2\left(\alpha\right)\) переносится в левую часть уравнения, \(\cos\left(2\alpha\right)\) — в правую. Делим получившееся тождество \(2\sin^2\left(\alpha\right)=1-\cos\left(2\alpha\right)\) на 2 и в результате остается формула понижения степени для синуса:

\(\sin^2\left(\alpha\right)=\frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}2\)

Как выполняется, примеры задач с решением

Формулы понижения степени находят свое применение в тригонометрии, при решении дифференциальных уравнений и вычислении интегралов. Рассмотрим несколько примеров их использования:

Пример 1. Вычислить значение \(2\cdot\sin^2\left(\frac\pi4\right)\)

Применим формулу понижения степени для синуса в квадрате \(\sin^2\left(\alpha\right)=\frac{1-\cos\left(2\alpha\right)}2\). Получим следующее:

\(2\cdot\sin^2\left(\frac\pi4\right)=\frac{2\cdot(1-\cos\left(2\cdot{\displaystyle\frac\pi4}\right))}2=1-\cos\left(\frac\pi2\right)\)

Так как \(\cos\left(\frac\pi2\right)\), он же \(\cos\left(90^\circ\right)\) равняется 0, получим \(2\cdot\sin^2\left(\frac\pi4\right)=1\).

Пример 2. Вычислить значение интеграла \(\int2\cos^2\left(x\right)d2x\)

Для того, чтобы привести к одному виду значения переменных в косинусе и дифференциале, воспользуемся формулой понижения степени:

\(\int2\cos^2\left(x\right)d2x=\int2\cdot\frac{1+\cos\left(2x\right)}2d2x=\int1+\cos\left(2x\right)d2x\)

Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:

\(\int1+\cos\left(2x\right)d2x=\int1d2x+\int\cos\left(2x\right)d2x=x+\sin\left(2x\right)+\mathrm C\)