Список формул сокращенного умножения в математике

Что такое формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения используются для алгебраических выражений и алгебраических дробей, для разложения на множители, решения неравенств и уравнений. Кроме этого с помощью формул можно привести многочлен к стандартному виду без раскрытия скобок.

Доказательство

Формулы сокращенного умножения естественным образом следуют из правила умножения многочлена на многочлен.

Докажем, что (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)² тождественно (a + b)(a + b)

Раскроем скобки (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Проделаем то же самое в обратную сторону с квадратом разности

a² − 2ab + b² = (a² − ab) + (-ab + b²)

Вынесем общий множитель за скобки a(a − b) − b(a − b) = (a − b)(a − b) = (a − b)²

Список формул

Формулы квадратов

(a − b)(a + b) = a² − b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Формулы кубов

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Формулы четвертой степени

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴

a⁴ – b⁴ = (a – b)(a + b)(a² + b²)

Формула квадрата суммы 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат суммы выражений a и b равен квадрату первого выражения, прибавить квадрат второго выражения и их удвоенное произведение. 

Формула квадрата разности

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Квадрат разности чисел a и b равен сумме квадратов a и b минус их удвоенное произведение.

Формула куба суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб суммы выражений a и b равен возведенному в третью степень первому выражению плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго выражения плюс второе выражение, возведенное в третью степень.

Куб суммы двух выражений

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб суммы чисел a и b равен сумме кубов этих чисел, утроенного произведения квадрата первого числа и второго и утроенного произведения квадрата второго числа и первого числа.

Формула куба разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Куб разности выражений a и b равен возведенному в третью степень первому выражению минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус возведенное в третью степень второе выражение.

Формула разности квадратов

a² – b² = (a – b)(a + b)

Разность квадратов чисел a и b равна произведению их разности на их сумму.

Формула суммы кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Сумма кубов выражений a и b равна произведению суммы выражений на квадрат их разности.

Формула разности кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Разность кубов чисел a и b равна разности чисел умноженной на неполный квадрат их суммы.

Примеры применения формул

Выполним вычисления через упрощение на основе приведенных выше формул. С помощью них мы сократим выражение, что позволит нам решать его намного быстрее и проще.

Пример

Используем формулу квадрата суммы:

(5+3x)² = 5 + (3x)² + 2 ⋅ 5 ⋅ 3x = 25 +9x² +30x

x² + 4xy + 4y² = x² + (2y)² + 2 ⋅ x ⋅ 2y = (x + 2y)²

Пример

Используем формулу разности квадратов:

49x² − 9y² = (7x)² − (3y)² + (7x − 3y)(7x + 3y)

(x +3)² − 16 = (x +3)² - 4² = (x + 3 − 4)(x + 3 + 4) = (x − 1)(x +7)

Пример

Используем формулу квадрата разности:

(1 − 2xy)² = 1² +(2xy)² − 2 ⋅ 1 ⋅ 2xy + 1 + 4x²y² − 4xy

4x² − 4x + 1 = (2x)² + 1 − 2 ⋅ 2x ⋅ 1 = (2x − 1)²

Пример

Используем формулу куба суммы:

(2x + y)³ = (2x)³ + 3 ⋅ (2x)² ⋅ y + 3 ⋅ 2x ⋅ y² +y³ = 8x³ +12x² ⋅ y + 6x ⋅ y² +y³

Пример

Используем формулу куба разности:

(4x − 3y)³ = ((4x)³ − 3 ⋅ (4x)²) ⋅ 3y + 3 ⋅ 4x (3y)² − (3y)³) = 64x³ - 144x² ⋅ y² = 27y³

Пример

Используем формулу сумма кубов:

(3a + 2)(9a² − 6 6a + 4) = (3a)³ + (2)³ = 27a³ + 8

Пример

Используем формулу разности кубов:

(2 − y)(4 + 2y + y²) = (2 − y)(2² + 2y + y²) = 2³ - y³ = 8 − y³

Пример

Рассмотрим пример с дробями: 

\(\frac{8x^3\;-\;z^6}{4x^{2\;}-\;z^4}\)

Необходимо сократить эту дробь. Для числителя этой дроби можно использовать формулу разности кубов, а для знаменателя - разности квадратов. После того, как мы выбрали формулы, которые будем использовать, приступаем к действию.

\(\frac{8x^3\;-\;z^6}{4x^{2\;}-\;z^4} = \frac{(2x\;-\;z)(4x^2\;+\;2xz\;+\;z^4)}{(2x\;-\;z)(2x\;-z)}\)

Сократив дробь еще раз, мы получим \(\frac{(4x^2\;+\;2xz\;\_+\;z^4)}{(2x\;+\;z)}\)