Правила выполнения действий со степенями

Что такое степень — определение, какие существуют виды

Для \(а\;\in\;R,\;n\;\in\;N:\) 

Так как не всегда возможно набрать на компьютере двухэтажный символ, в большинстве систем компьютерной алгебры, начиная с семейства языков программирования Бейсик, используется диакритический символ циркумфлекс, который ставят между основанием и показателем: a\wedge n.
Целый показатель может быть положительным и отрицательным.

Если при а, отличном от нуля, \(р\;>\;0,\;р\;\in\;R, а^{-р}\;=\;\frac1{а^р}.\)

При а и b, отличных от нуля, \(\left(\frac аb\right)^{-n}\;=\;\left(\frac ba\right)^n.\)

Степени бывают:

• целые;
• рациональные, т. е. с дробным показателем, числитель которого — целое число, а знаменатель — натуральное;
• вещественные;
• комплексные.

Для второй и третьей степеней есть специальные названия: возведение в квадрат и куб.
Выражение «а в степени n» можно рассматривать как одну из трех функций:

• степенную, или функцию переменной а;
• показательную, или функцию переменной n;
• функцию двух переменных.

Свойства степени с натуральным показателем

1. Для а, отличного от нуля, а в нулевой степени равняется единице.
2. Для \(а\;\in\;R а^1\;=\;а.\)

Степень с целым и дробным показателем

Если \(а\;>\;0,\;р\;\in\;Z,\;q\;\in\;N - а^\frac рq\;=\;\sqrt[q]{a^p}.\)

Какие возможны действия со степенями, формулы

Формулы, справедливые для положительных целых показателей, так же справедливы для отрицательных и дробных. Справедливы и принципы коммутативности сложения и умножения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется, от перемены мест множителей не меняется произведение.

Основные действия со степенями

Если \(а\;>\;0,\;n,\;m\;\in\;Q:\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}а^m\;\times\;a^n\;=\;a^{m+n}\)

\(а^m\;\div\;a^n\;=\;a^{m-n} \)

\(\left(а^m\;\right)^n\;=\;a^{m\times n}\)

\(\left(а\;\times\;b\;\times\;...\;\times\;c\right)^n\;=\;а^n\;\times\;b^n\;\times\;...\;\times\;c^n\)

Для b, отличного от нуля:

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\left(\frac аb\right)^n\;=\;\frac{a^n}{b^n}\)

Примеры задач с решением

Задача №1

\(3^n\;=\;3^2\;\times\;3^3.\)

Найдите n.

Решение:

Произведем умножение в правой части выражения:

\(3^2\;\times\;3^3\;=\;3^{2+3}\;=\;3^5.\)

Ответ: n = 5.

Задача №2

\(8^n\;=\;2^{-3}.\)

Найдите n.

Решение:

Произведем вычисление:

\(2^{-3}\;=\;\left(2^3\right)^{-1}.\)

Тогда \(8^n\;=\;8^{-1}.\)

Ответ: n = -1.