Основные сведения о фундаментальной системе решений

Понятие однородной системы уравнений

Системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений можно разделить на однородные и неоднородные.

Примечание 1

В данной статье все определения, свойства и примеры рассматриваются для системы линейных алгебраических уравнений — СЛАУ.

Однородной системой уравнений называют систему из линейных уравнений вида \(\sum_{i=1}^na_i\cdot x_i=0\).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример 1

\(\left\{\begin{array}{l}5x_1+2x_2-x_3=0\\x_1-x_2=0\\2x_1-\frac34x_2+3x_3=0\\-x_1-8x_2-2x_3=0\end{array}\right.\)

Однородная СЛАУ всегда имеет как минимум одно решение — нулевое, то есть всегда является совместной.

Слово «нулевое» часто заменяют на «тривиальное» и говорят, что система имеет тривиальное решение.

СЛАУ будет иметь бесконечное множество решений в том случае, если ранг матрицы коэффициентов A будет меньше количества неизвестных переменных n: A<n. Такую систему называют совместной и неопределенной.

Если A=n, система будет иметь единственное решение, и это решение будет нулевым. Система в этом случае совместна и определена.

Если A≠n, система несовместна.

Примечание 2

Ранг матрицы равен максимальному порядку миноров матрицы, не равных нулю. Простой способ найти ранг на практике — выполнить преобразования (исключение нулевых строк, умножение на ненулевое число, сложение и т.д.), после чего определить ранг матрицы как количество ненулевых строк.

В том случае, когда определитель квадратной матрицы СЛАУ равен нулю, система имеет нетривиальное решение.

Нахождение решений однородной СЛАУ осуществляется по методу Гаусса. Порядок действий при этом таков:

  1. Систему записывают в виде матрицы, затем с помощью различных преобразований приводят ее к треугольному виду.
  2. Записывают уравнения, умножая неизвестные переменные на соответствующие элементы матрицы.
  3. Решают систему, начиная с последнего уравнения, в котором остается только одна переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

В основном решение однородной системы представляют в виде набора линейно независимых векторов \( \overrightarrow{b_1},\;\overrightarrow{b_2},\;...\;\overrightarrow{b_n},\) называемого фундаментальной системой решений однородной системы.

Примечание 3

Решением системы будет являться также любая линейная комбинация векторов \(\overrightarrow b\) вида \(a_1\overrightarrow{b_1},\;a_2\overrightarrow{b_2},\;...\;a_n\overrightarrow{b_n}\), где коэффициенты \(a_1,\;a_2,\;...\;a_n\) – любые вещественные числа.

Фундаментальная система решений — базис векторного пространства, образованного решениями системы.

Фундаментальное решение системы B принято записывать как \(\overrightarrow B=a\cdot\overrightarrow b\).

Сформулируем (без доказательства) теорему о размерности фундаментальной системы решений.

Теорема 

Фундаментальная система решений для СЛАУ, у которой A

Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения

Отличие неоднородной системы от однородной состоит в том, что в правой части уравнений системы находятся ненулевые коэффициенты.

Чтобы найти решение неоднородной системы, используют общее решение однородной. Общее решение неоднородной СЛАУ  \(\overrightarrow{Х_{он}}\)  будет иметь вид:

Формула 1

\(\overrightarrow{X_{он}}=\overrightarrow{Х_{од}}+\overrightarrow{Х_{чн}}\)

где \(\overrightarrow{Х_{од}}\) — общее решение соответствующей однородной системы, \(\overrightarrow{Х_{чн}}\) – частное решение заданной неоднородной системы.

Примечание 5

Соответствующую однородную систему получают, приравняв к нулю коэффициенты в правых частях уравнений.

Пример 2

\(\left\{\begin{array}{l}-3x_1+x_2+5x_3-2x_4=3\\3x_2+2x_3+x_4=-8\\2x_1-5x_2+6x_3-4x_4=0\end{array}\xrightarrow[{однородная\;СЛАУ}]{соответствующая}\right.\left\{\begin{array}{l}-3x_1+x_2+5x_3-2x_4=0\\3x_2+2x_3+x_4=0\\2x_1-5x_2+6x_3-4x_4=0\end{array}\right.\)

Пояснение на примерах

Рассмотрим несколько примеров задач на решение однородных и неоднородных СЛАУ.

Пример 3

Решить систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l}-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-x_1-\frac12x_2+\frac32x_3=0\\-\frac32x_1-x_3=0\end{array}\right.\)

Решение

Система является однородной. Составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

\(\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\-1&-0.5&1.5\\-1.5&0&-1\end{pmatrix}\;\xrightarrow1\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\-1.5&0&-1\end{pmatrix}\;\xrightarrow2\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\0&-1.5&-2\end{pmatrix}\;\xrightarrow3\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\0&0&-5.5\end{pmatrix}\)

  1. Ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (-2).
  2. К третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-3).
  3. К третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1).

Получили, что ранг матрицы равен 3, как и число переменных. Найдем, чему равен определитель матрицы.

\(\begin{vmatrix}-0.5&0.5&-1\\-1&-0.5&1.5\\-1.5&0&-1\end{vmatrix}=-0.25-1.125+0-(-0.75+0.5+0)=1.125\)

Определитель не равен нулю, то есть можно сделать вывод о том, что система имеет одно тривиальное решение.

Сделаем проверку и продолжим решение по методу Гаусса. Запишем систему с коэффициентами матрицы после преобразований.

\(\left\{\begin{array}{l}-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-\frac32x_2+\frac72x_3=0\\-\frac{11}2x_3=0\end{array}\right.\rightarrow\;\left\{\begin{array}{l}x_1=0\\x_2=0\\x_3=0\end{array}\right.\)

Получили, что решением будут нулевые значения переменной.

Ответ: \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\)

Пример 4

Найти общее и фундаментальное решения системы \(\left\{\begin{array}{l}-4x_1-4x_2+2x_3=0\\-10x_1-8x_2+12x_3=0\\-6x_1-4x_2+10x_3=0\end{array}\right.\).

Решение

Сначала определим ранг матрицы коэффициентов.

\(\begin{pmatrix}-4&-4&2\\-10&-8&12\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow1\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\-10&-8&12\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow2\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\2&0&-8\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow3\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow4\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\0&-4&-14\end{pmatrix}\)

  1. К первой строке прибавили третью, умноженную на (-1).
  2. От второй строки отняли третью, умноженную на 2.
  3. Исключили одну из одинаковых строк.
  4. Ко второй строке прибавили первую, умноженную на 3.

Ранг матрицы А=2.

Найдем общее решение. Запишем систему в виде: \(\left\{\begin{array}{l}2x_1-8x_3=0\\-4x_2-14x_3=0\end{array}\right.\)

Выразим переменные \(x_1\) и \(x_2\) через \(x_3: \left\{\begin{array}{l}x_1=4x_3\\x_2=-\frac{14}4x_3\end{array}\right.\)

Общее решение системы: \( \left(4x_3;\;-\frac{14}4x_2;\;x_3\right)\)

Количество фундаментальных решений: \(n-A=3-2=1\). Чтобы найти вектор \overrightarrow B фундаментального решения, зададим произвольное значение переменной \(x_3\). Примем \(x_3=4\), чтобы избавиться от дробей.

Фундаментальная система решений: \overrightarrow \(B=\;(16;\;-14;\;4).\)

Ответ: \(\left(4x_3;\;-\frac{14}4x_2;\;x_3\right) и \;(16;\;-14;\;4).\)

Пример 5

Записать общее решение неоднородной системы. Известно, что соответствующая однородная система выглядит как в предыдущем примере, а частное решение имеет вид: (-2; 1; 3).

Решение

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной и частного решения. Тогда:

\(\overrightarrow{X_{он}}=\overrightarrow{X_{од}}+\overrightarrow{Х_{чн}}=(4x_3;\;-\frac{14}4x_3;\;x_3)+(-2;\;1;\;3)=(4x_3-2;\;1-\frac{14}4x_3;\;x_3+3)\)

Ответ: \((4x_3-2;\;1-\frac{14}4x_3;\;x_3+3).\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.00 (Голосов: 1)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»