Геометрическая фигура пирамида: описание, основные виды, свойства, формулы

Что такое пирамида в геометрии 

Боковой гранью пирамиды является треугольник, у которого один из углов лежит на вершине этой геометрической фигуры, а противоположная ему сторона соответствует стороне основания. Общие стороны, которыми обладают боковые грани, называются боковыми ребрами. Их количество в пирамиде соответствует числу углов многоугольника.

Высота пирамиды является перпендикуляром, который опустили из вершины к основанию пирамиды.

Перпендикуляр боковой грани пирамиды, который опустили из ее вершины на сторону основания, называют апофемой.

Диагональным сечением пирамиды называют сечение данной геометрической фигуры, которое пролегает через ее вершину и диагональ основания.

Построить геометрическую фигуру в виде пирамиды можно с помощью поэтапных действий:

1. Нарисовать основание.
2. Найти проекцию вершины геометрической фигуры на плоскости ее основания, исходя из условий задачи.
3. Провести вертикальную высоту.
4. Построить ребра геометрической фигуры.

На рисунке представлена пирамида с четырьмя углами SABCD. В первую очередь следует записывать вершину пирамиды. В основании лежит четырехугольник ABCD. Вершина изображенного многоугольника проецируется в точку О, где пересекаются диагонали. Данная точка представляет собой основание высоты или проекцию вершины. SA, SB, SC, SD представляют собой ребра пирамиды, а отрезки AB, BC, CD, DA являются сторонами ее основания.

Виды пирамид

Основными видами пирамид, которые наиболее часто встречаются при решении задач, являются:

• правильные пирамиды с вершиной, которая спроецирована в центральную точку основания фигуры;
• пирамида с вершиной, спроецированной в центральную точку окружности, которая вписана в геометрическую фигуру;
• пирамида с вершиной, спроецированной в центральную точку окружности, которая описана вокруг геометрической фигуры;
• пирамида с высотой, равной боковому ребру;
• пирамида, высота которой совпадает с высотой боковой грани этого многоугольника.

Свойства пирамиды

Среди свойств, которыми обладает многоугольник в виде пирамиды, можно отметить следующие:

1. В случае равенства всех боковых ребер фигуры вокруг ее основания можно описать круг, центр которого совпадет с центром основания пирамиды. Кроме того, через эту точку пройдет перпендикуляр, который опустили из вершины многоугольника.
2. Равенство всех ребер пирамиды говорит о том, что они расположены под равными углами к плоскости основания.
3. Равенство боковых ребер будет соблюдаться в том случае, когда ими образованы равные углы с плоскостью основания, либо имеется возможность описать вокруг основания многоугольника круг.
4. При наклоне боковых граней к плоскости основания под одинаковым углом можно вписать круг в основание пирамиды. При этом проекция вершины пирамиды будет совпадать с центральной точкой данной окружности.
5. Равенство апофем боковых граней пирамиды возможно в том случае, когда углы наклона боковых граней к основанию равны.

Свойства правильной пирамиды

Правильную пирамиду характеризуют следующие особенности:

• вершина такой геометрической фигуры расположена на одинаковом расстоянии от всех углов основания;
• равенство всех боковых ребер;
• равенство углов наклона всех боковых ребер к плоскости основания;
• равенство апофем всех боковых граней;
• равенство площадей, которыми обладают все боковые грани;
• для всех граней характерно наличие одинаковых двугранных или плоских углов;
• вокруг такой пирамиды можно описать сферу, центром которой будет являться точка пересечения перпендикуляров, пересекающих середину ребер геометрической фигуры;
• в данный многоугольник можно вписать сферу с центром в точке, в которой пересекаются биссектрисы, выходящие из угла, разделяющего ребро и основание;
• при совпадении центра вписанной сферы с центральной точкой описанной сферы сумма плоских углов при вершине равна π (числу «пи», или 180-ти градусам), или наоборот, один угол соответствует π/n, где n является количеством углов в основании пирамиды.

Формулы вычисления объема и площади

Боковая поверхность пирамиды представляет собой общую площадь всех боковых граней данного многоугольника. Для расчета полной поверхности пирамиды необходимо определить сумму площадей боковой поверхности и основания многоугольника.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно рассчитать по формуле, зная периметр основания и апофему:

\(Sb = 1/2 ph\)

Объем данной геометрической фигуры определяют с помощью площади и высоты:

\(V = 1/3 *SоснН\)