Геометрическая фигура пирамида: описание, основные виды, свойства, формулы

Что такое пирамида в геометрии 

Пирамидой называют многогранную объемную фигуру, которая ограничена плоским многоугольником в виде основы и треугольниками с общей вершиной, находящейся за пределами плоскости основания.

Боковой гранью пирамиды является треугольник, у которого один из углов лежит на вершине этой геометрической фигуры, а противоположная ему сторона соответствует стороне основания. Общие стороны, которыми обладают боковые грани, называются боковыми ребрами. Их количество в пирамиде соответствует числу углов многоугольника.

Высота пирамиды является перпендикуляром, который опустили из вершины к основанию пирамиды.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Перпендикуляр боковой грани пирамиды, который опустили из ее вершины на сторону основания, называют апофемой.

Диагональным сечением пирамиды называют сечение данной геометрической фигуры, которое пролегает через ее вершину и диагональ основания.

Построить геометрическую фигуру в виде пирамиды можно с помощью поэтапных действий:

  1. Нарисовать основание.
  2. Найти проекцию вершины геометрической фигуры на плоскости ее основания, исходя из условий задачи.
  3. Провести вертикальную высоту.
  4. Построить ребра геометрической фигуры.
Пирамида
Источник: ykl-res.azureedge.net

На рисунке представлена пирамида с четырьмя углами SABCD. В первую очередь следует записывать вершину пирамиды. В основании лежит четырехугольник ABCD. Вершина изображенного многоугольника проецируется в точку О, где пересекаются диагонали. Данная точка представляет собой основание высоты или проекцию вершины. SA, SB, SC, SD представляют собой ребра пирамиды, а отрезки AB, BC, CD, DA являются сторонами ее основания.

Виды пирамид

Основными видами пирамид, которые наиболее часто встречаются при решении задач, являются:

  • правильные пирамиды с вершиной, которая спроецирована в центральную точку основания фигуры;
  • пирамида с вершиной, спроецированной в центральную точку окружности, которая вписана в геометрическую фигуру;
  • пирамида с вершиной, спроецированной в центральную точку окружности, которая описана вокруг геометрической фигуры;
  • пирамида с высотой, равной боковому ребру;
  • пирамида, высота которой совпадает с высотой боковой грани этого многоугольника.

Свойства пирамиды

Среди свойств, которыми обладает многоугольник в виде пирамиды, можно отметить следующие:

  1. В случае равенства всех боковых ребер фигуры вокруг ее основания можно описать круг, центр которого совпадет с центром основания пирамиды. Кроме того, через эту точку пройдет перпендикуляр, который опустили из вершины многоугольника.
  2. Равенство всех ребер пирамиды говорит о том, что они расположены под равными углами к плоскости основания.
  3. Равенство боковых ребер будет соблюдаться в том случае, когда ими образованы равные углы с плоскостью основания, либо имеется возможность описать вокруг основания многоугольника круг.
  4. При наклоне боковых граней к плоскости основания под одинаковым углом можно вписать круг в основание пирамиды. При этом проекция вершины пирамиды будет совпадать с центральной точкой данной окружности.
  5. Равенство апофем боковых граней пирамиды возможно в том случае, когда углы наклона боковых граней к основанию равны.

Свойства правильной пирамиды

Правильную пирамиду характеризуют следующие особенности:

  • вершина такой геометрической фигуры расположена на одинаковом расстоянии от всех углов основания;
  • равенство всех боковых ребер;
  • равенство углов наклона всех боковых ребер к плоскости основания;
  • равенство апофем всех боковых граней;
  • равенство площадей, которыми обладают все боковые грани;
  • для всех граней характерно наличие одинаковых двугранных или плоских углов;
  • вокруг такой пирамиды можно описать сферу, центром которой будет являться точка пересечения перпендикуляров, пересекающих середину ребер геометрической фигуры;
  • в данный многоугольник можно вписать сферу с центром в точке, в которой пересекаются биссектрисы, выходящие из угла, разделяющего ребро и основание;
  • при совпадении центра вписанной сферы с центральной точкой описанной сферы сумма плоских углов при вершине равна π (числу «пи», или 180-ти градусам), или наоборот, один угол соответствует π/n, где n является количеством углов в основании пирамиды.

Формулы вычисления объема и площади

Боковая поверхность пирамиды представляет собой общую площадь всех боковых граней данного многоугольника. Для расчета полной поверхности пирамиды необходимо определить сумму площадей боковой поверхности и основания многоугольника.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно рассчитать по формуле, зная периметр основания и апофему:

\(Sb = 1/2 ph\)

Объем данной геометрической фигуры определяют с помощью площади и высоты:

\(V = 1/3 *SоснН\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»