Интеграл от экспоненты

Чему равен интеграл от экспоненты

Его можно записать в виде формулы:

\(\int e^x\operatorname dx=e^x+C\)

Это выражение является производным от формулы для вычисления интеграла показательной функции при соблюдении следующих условий:

\(a=e\)

\(\ln\left(e\right)=1\)

Список интегралов с экспонентой

В данном перечне постоянная интегрирования опущена для удобства, но она может быть добавлена к каждой из формул в правой ее части.

Неопределенные интегралы

\(\int e^{cx}\operatorname dx=\frac1ce^{cx}\)

\(\int a^{cx}\operatorname dx=\frac1{c\ln\left(a\right)}a^{cx},\;a>0,\;a\neq1\)

\(\int xe^{cx}\operatorname dx=\frac{e^{cx}}{c^2}\left(cx-1\right)\)

\(\int x^2e^{cx}\operatorname dx=e^{cx}\left(\frac{x^2}c-\frac{2x}{c^2}+\frac2{c^3}\right)\)

\(\int x^ne^{cx}\operatorname dx=\frac1cx^ne^{cx}-\frac nc\int x^{n-1}e^{cx}\operatorname dx\)

\(\int\frac{e^{cx}\operatorname dx}x=\ln\left(\left|x\right|\right)+\sum_{i=1}^\infty\frac{\left(cx\right)^i}{i\cdot i!}\)

Обратим внимание, что в данной формуле присутствует натуральный логарифм от модуля x.

\(\int\frac{e^{cx}\operatorname dx}{x^n}=\frac1{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx}\operatorname dx}{x^{n-1}}\right),\;n\neq1\)

\(\int e^{cx}\ln\left(x\right)\operatorname dx=\frac1ce^{cx}\ln\left(\left|x\right|\right)-Ei\left(cx\right)\)

\(\int xe^{cx^2}dx=\frac{1}{2c}e^{cx^2}\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\int\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\left(x-\mu\right)^2/2\sigma^2}\operatorname dx=\frac12\left(1+erf\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right)\)

В последнем случае \(erf\) — функция ошибок.

Первообразные, содержащие синус и косинус:

\(\int e^{cx}\sin\left(bx\right)\operatorname dx=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}\left(c\sin\left(bx\right)-b\cos\left(bx\right)\right)\)

\(\int e^{cx}\cos\left(bx\right)\operatorname dx=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}\left(c\cos\left(bx\right)+b\sin\left(bx\right)\right)\)

\(\int e^{cx}\sin^n\left(x\right)\operatorname dx=\frac{e^{cx}\sin^{n-1}\left(x\right)}{c^2+n^2}\left(c\sin\left(x\right)-n\cos\left(x\right)\right)+\frac{n\left(n-1\right)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2}\left(x\right)\operatorname dx\)

\(\int e^{cx}\cos^n\left(x\right)\operatorname dx=\frac{e^{cx}\cos^{n-1}\left(x\right)}{c^2+n^2}\left(c\cos\left(x\right)+n\sin\left(x\right)\right)+\frac{n\left(n-1\right)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2}\left(x\right)\operatorname dx\)

Определенные интегралы

\(\int_0^1e^{x\cdot\ln\left(a\right)+\left(x-1\right)\cdot\ln\left(b\right)}\operatorname dx=\int_0^1\left(\frac ab\right)^x\cdot b\operatorname dx=\int_0^1a^x\cdot b^{1-x}\operatorname dx=\frac{a-b}{\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)},\;a>0,\;b>0,\;a\neq b\)

\(\int_0^\infty e^{-ax}\operatorname dx=\frac1a\)

\(\int_0^\infty x^ne^{-ax}\operatorname dx=\left\{\begin{array}{lc}\frac{Г\left(n+1\right)}{a^{n+1}}&\left(n>-1,\;a>0\right)\\\frac{n!}{a^{n+1}}&\left(n=0,1,2...,a>0\right)\end{array}\right.\)

\(\int_0^\infty e^{-ax}\sin\left(bx\right)\operatorname dx=\frac b{a^2+b^2},\;a>0\)

\(\int_0^\infty e^{-ax}\cos\left(bx\right)\operatorname dx=\frac b{a^2+b^2},\;a>0\)

\(\int_0^\infty xe^{-ax}\sin\left(bx\right)\operatorname dx=\frac{2ab}{\left(a^2+b^2\right)^2},\;a>0\)

\(\int_0^\infty xe^{-ax}\cos\left(bx\right)\operatorname dx=\frac{a^2-b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2},\;a>0\)

\(\int_0^{2\pi}e^{x\cos\left(\theta\right)}\operatorname d\theta=2\pi I_0(x)\)

Здесь I₀ — первородная модифицированная функция Бесселя.

Дзета-функция Римана:

\(\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\operatorname dx,=Г\left(s\right)\zeta\left(s\right)\)

Выражения с корнем в составе:

Интеграл Гаусса:

\(\int_0^\infty e^{-ax^2}\operatorname dx=\frac12\sqrt{\frac\pi a},\;a>0\)

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\operatorname dx=\sqrt{\frac\pi a},\;a>0\)

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}e^{-2bx}\operatorname dx=\sqrt{\frac\pi a}e^\frac{b^2}a,\;a>0\)

\(\int_{-\infty}^\infty xe^{-a\left(x-b\right)^2}\operatorname dx=b\sqrt{\frac\pi a},\;a>0\)

\(\int_{-\infty}^\infty x^2e^{-ax^2}\operatorname dx=\frac12\sqrt{\frac\pi{a^3}},\;a>0\)

\(\int_0^\infty x^ne^{-ax^2}\operatorname dx=\left\{\begin{array}{cc}\frac12Г\left(\frac{n+1}2\right)/a^\frac{n+1}2&\left(n>-1,\;a>0\right)\\\frac{\left(2k-1\right)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac\pi a}&\left(n=2k,\;a>0\right)\\\frac{k!}{2a^{k+1}}&\left(n=2k+1,\;a>0\right)\end{array}\right.\)

Здесь \(k\) — целое число, \(!!\) — двойной факториал.

\(\int_0^{2\pi}e^{x\cos\left(\theta\right)+y\sin\left(\theta\right)}\operatorname d\theta=2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\)

Как найти интеграл от экспоненты в сложной степени

В случае, когда показатель степени экспоненты выражен в виде сложной функции ax+b, то неопределенный интеграл вычисляется по формуле:

\(\int e^{ax+b}+C=\frac1ae^{ax+b}+C\)

Интеграл от числа Эйлера в степени х (e^x)

Чтобы понять, как произвести переход от е в x-степени к первообразной от e^x, вспомним порядок выведения формулы для производной от функции e^x. Будем действовать по общему алгоритму выведения формулы производной.

Сначала рассмотрим прирост функции степени:

\(\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{a^{x+\triangle x}-a^x}{\triangle x}=a^x\cdot\frac{a^{\triangle x}-1}{\triangle x}\)

Далее разберем предел составленного выражения при Δx, стремящемся к нулю:

\(y'\left(x\right)=\lim_{\triangle x\rightarrow0}=a^x\cdot\ln\left(a\right)\)

При y, равном e в степени x, полученное выражение преобразуется в следующее:

\(y'\left(x\right)=e^x\)

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить неопределенный интеграл:

\(\int4\cdot e^x\operatorname dx\)

Решение

Вынесем постоянную интегрирования за символ интеграла и воспользуемся формулой:

\(\int4\cdot e^x\operatorname dx=4\int e^x\operatorname dx=4e^x+С\)

Ответ: \(\int4\cdot e^x\operatorname dx=4e^x+С.\)

Задача 2

Взять интеграл от:

\(\int e^{2x}\operatorname dx\)

Решение

Применим формулу для интеграла от экспоненты со сложной степенью, согласно которой a=2. При подстановке получим:

\(\int e^{2x}\operatorname dx=\frac12e^{2x}+C\)

Это и будет ответом.

Задача 3

Определить интеграл экспоненциальной функции с отрицательным показателем степени:

\(\int e^{-x}\operatorname dx\)

Решение

Поскольку степень e равна −x, знак минуса выносим за символ дифференциала и получим выражение:

\(\int e^{-x}\operatorname dx=-\int e^{-x}\operatorname d\left(-x\right)=-e^{-x}+C\)

Ответ: \(\int e^{-x}\operatorname dx=-e^{-x}+C \)