Интеграл от натурального логарифма
Что такое интеграл от натурального логарифма
Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.
Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:
\(\int \ln x dx = x\ln x - x + C\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:
\(\ \int u d v=u v-\int v d u\)
Таким образом, выражение является равным:\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \).
В том случае, когда \(u=\phi _{1}(x)\) и \(v=\phi _{2}(x)\) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:
\(d (uv) = udv + vdu\)
В результате получим формулу интегрирования по частям:
\(\int udv=uv-\int vdu\)
Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.
В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.
В особых случаях, чтобы свести рассматриваемый интеграл к табличной форме, целесообразно использовать выведенную формулу не один, а несколько раз. В редких ситуациях интеграл можно определить из алгебраического уравнения, которое является результатом интегрирования по частям.
Список интегралов или первообразных функций от логарифмической функции представлен ниже. Следует отметить, что формулы записаны с учетом х, значение которого больше нуля. Аддитивная константа опущена.
Интеграл натурального логарифма сложной функции
Формула интеграла от экспоненциальной функции имеет следующий вид:
\(\large\int\normalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
В случае показательной функции интеграл будет определяться в соответствии с уравнениями при разных значениях а:
\(\large\int\normalsize {{a^x}dx} = \large\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\normalsize + C,\;\;a > 0\)
\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{a}}\normalsize + C,\;\;a \ne 0 \)
\(\large\int\normalsize {x{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}\normalsize\left( {ax - 1} \right) + C,\;\;a \ne 0\)
Выражения, справедливые для определения интеграла от натурального логарифма:
\(\large\int\normalsize {\ln x\,dx} = x\ln x - x + C\)
\(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{x\ln x}}\normalsize} = \ln \left| {\ln x} \right| + C \)
\(\large\int\normalsize {{x^n}\ln x\,dx} = {x^{n + 1}}\left[ {\large\frac{{\ln x}}{{n + 1}}\normalsize - \large\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}\normalsize \right] + C \)
\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}\sin {bx}\,dx} = \large\frac{{a\sin {bx} - b\cos {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}\normalsize {e^{ax}} + C \)
\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}\cos {bx}\,dx} = \large\frac{{a\cos {bx} + b\sin {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}\normalsize {e^{ax}} + C \)
Примеры вычисления интеграла натурального логарифма
Необходимо определить интеграл от натурального логарифма: \(\int \ln x dx\)
Решение:
В том случае, когда требуется взять рассматриваемый интеграл, целесообразно воспользоваться уравнением интегрирования по частям:
\(\int udv = uv – vdu\)
В результате получим уравнение:
\(\int \ln x dx = \begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C\)
Ответ: \(\int \ln x dx = x\ln x - x + C\)
Дано уравнение натурального логарифма в квадрате: \(\int \ln^2 x dx\)
Требуется взять от записанного выражения интеграл.
Решение:
В данном случае необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям:
\(\int \ln^2 xdx = \begin{vmatrix} u = \ln^2 x & du = 2lnx \cdot \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln^2 x - \int 2lnxdx = x\ln^2 x - 2int lnxdx\)
Полученное равенство следует преобразовать с помощью повторного использования формулы интегрирования по частям. В результате запишем равенство:\(x\ln^2 x - 2\begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln^2 x - 2(x\ln x - \int dx) = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2\int dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C \).
Ответ: \(\int \ln^2 x dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C\)
Необходимо решить интеграл: \(\ \int \ln (x+1) d x\)
Решение:
В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:\(\ \int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C \).
Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:
\(\ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)
\(Ответ: \ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
