Интеграл от натурального логарифма

Что такое интеграл от натурального логарифма

Натуральным логарифмом называют такой логарифм, основание которого представляет собой число е или число Эйлера с приближенным значением в 2,71.

Получение интеграла натурального логарифма возможно с применением формулы интегрирования по частям. По итогам вычислений получают уравнение:

\(\int \ln x dx = x\ln x - x + C\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данная формула является результатом использования методики интегрирования по частям уравнения, записанного ниже, к заданному интегралу:

\(\ \int u d v=u v-\int v d u\)

Таким образом, выражение является равным:\(\ \int \ln x d x\left\|\begin{array}{ll}{u=\ln x} & {d v=d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=x}\end{array}\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \).

В том случае, когда \(u=\phi _{1}(x)\) и \(v=\phi _{2}(x)\) являются дифференцируемыми функциями от х в скобках, можно использовать уравнение для дифференциала умножения пары функций:

\(d (uv) = udv + vdu\)

В результате получим формулу интегрирования по частям:

\(\int udv=uv-\int vdu\)

Данная закономерность имеет смысл при условии равенства подынтегральной функции произведению алгебраической и трансцендентной функции.

В роли u, как правило, используют функцию, упрощенную в результате дифференцирования. Обозначение dv соответствует оставшейся части подынтегрального выражения, которое содержит dx и позволяет найти v с помощью метода интегрирования.

Примечание

В особых случаях, чтобы свести рассматриваемый интеграл к табличной форме, целесообразно использовать выведенную формулу не один, а несколько раз. В редких ситуациях интеграл можно определить из алгебраического уравнения, которое является результатом интегрирования по частям.

Список интегралов или первообразных функций от логарифмической функции представлен ниже. Следует отметить, что формулы записаны с учетом х, значение которого больше нуля. Аддитивная константа опущена.

Таблица интегралов

Интеграл натурального логарифма сложной функции

Формула интеграла от экспоненциальной функции имеет следующий вид:
\(\large\int\normalsize {{e^x}dx} = {e^x} + C\)

В случае показательной функции интеграл будет определяться в соответствии с уравнениями при разных значениях а:

\(\large\int\normalsize {{a^x}dx} = \large\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\normalsize + C,\;\;a > 0\)

\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{a}}\normalsize + C,\;\;a \ne 0 \)

\(\large\int\normalsize {x{e^{ax}}dx} = \large\frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}\normalsize\left( {ax - 1} \right) + C,\;\;a \ne 0\)

Выражения, справедливые для определения интеграла от натурального логарифма:

\(\large\int\normalsize {\ln x\,dx} = x\ln x - x + C\)

\(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{x\ln x}}\normalsize} = \ln \left| {\ln x} \right| + C \)

\(\large\int\normalsize {{x^n}\ln x\,dx} = {x^{n + 1}}\left[ {\large\frac{{\ln x}}{{n + 1}}\normalsize - \large\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}\normalsize \right] + C \)

\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}\sin {bx}\,dx} = \large\frac{{a\sin {bx} - b\cos {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}\normalsize {e^{ax}} + C \)

\(\large\int\normalsize {{e^{ax}}\cos {bx}\,dx} = \large\frac{{a\cos {bx} + b\sin {bx}}}{{{a^2} + {b^2}}}\normalsize {e^{ax}} + C \)

Примеры вычисления интеграла натурального логарифма

Задача № 1

Необходимо определить интеграл от натурального логарифма: \(\int \ln x dx\)

Решение:

В том случае, когда требуется взять рассматриваемый интеграл, целесообразно воспользоваться уравнением интегрирования по частям:

\(\int udv = uv – vdu\)

В результате получим уравнение:

\(\int \ln x dx = \begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C\)

Ответ: \(\int \ln x dx = x\ln x - x + C\)

Задача № 2

Дано уравнение натурального логарифма в квадрате: \(\int \ln^2 x dx\)

Требуется взять от записанного выражения интеграл.

Решение:

В данном случае необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям:

\(\int \ln^2 xdx = \begin{vmatrix} u = \ln^2 x & du = 2lnx \cdot \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln^2 x - \int 2lnxdx = x\ln^2 x - 2int lnxdx\)

Полученное равенство следует преобразовать с помощью повторного использования формулы интегрирования по частям. В результате запишем равенство:\(x\ln^2 x - 2\begin{vmatrix} u = \ln x & du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx & v = x \end{vmatrix} = x\ln^2 x - 2(x\ln x - \int dx) = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2\int dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C \).

Ответ: \(\int \ln^2 x dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + C\)

Задача

Необходимо решить интеграл: \(\ \int \ln (x+1) d x\)

Решение:

В первую очередь требуется заменить переменные в рассматриваемом выражении:\(\ \int \ln (x+1) d x\left\|\begin{array}{c}{ | x+1=t \|} \\ {d x=d t}\end{array}\right\|=\int \ln t d t=t \ln t-t+C \).

Обратившись к начальной интегральной переменной х, можно записать следующее уравнение:

\(\ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

\(Ответ: \ \int \ln (x+1) d x=(x+1) \ln (x+1)-x-1+C\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Другие статьи:

Извлечение корня из комплексного числа

Комплексное число — это выражение вида x=a+b\cdot i, где a и b — вещественные числа, а i — так называемая «мнимая единица». Если возвести ее в квадрат, получится отрицательное число. Таким образом, она определяется равенством i=\sqrt{-1} или i^2=-1. Извлечение корня Определение Корнем со степенью n, извлеченным из комплексного числа z называют то число w, у которого n-ая степень равна z и обозначается как \sqrt[n]z.  Не существует однозначного извлечения корня из комплексного числа, так как он имеет то количество значений, которое равно его степени. Тригонометрическая форма Если число z представлено в тригонометрической форме z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right), то значения корня n-ой степени находятся по формуле: \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Где |z| — модуль комплексного числа, ф — аргумент, k — параметр, значения у которого 0,1,2…n-1. Если посмотреть на извлечение корня n-ой степени с точки зрения геометрии, центр окружности с радиусом \sqrt[n]z расположен в точке О (0; 0), а все полученные значения, расположенные на ней, образуют правильный n-угольник (как это представлено на чертеже выше). Алгебраическая форма Если из данного числа z нужно извлечь корень n-ой степени, а он представлен в алгебраической или показательной форме, необходимо выполнить извлечение по пунктам: Представить число в тригонометрической форме: вычислить модуль \left|z\right| и аргумент (ф). Полученные значения применить в тригонометрической форме: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right). Извлечь корни по формуле, приведенной выше. Алгоритм вычисления квадратного и кубического корня Задача на кубический корень Задача: Извлечь кубический корень \sqrt[3]z, где z=\frac12+\frac12\cdot i в алгебраической форме. Решение: Вспомним, что тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right).  По условию мы знаем, что a=\frac12 и b=\frac12. Можем вычислить исходное значение комплексного числа: r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac14}=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}. Теперь посчитаем аргумент исходного комплексного числа: ф=arg(z)=arc\tan\left(\frac{1/2}{1/2}\right)=arc\tan\left(1\right)=\frac\pi4. Далее подставим значения в тригонометрическую форму записи и получим: z=\frac{\sqrt2}2\cdot\left(\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\right). Мы знаем, что корнем n-ой степени некоторого числа z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right) является комплексное число, определяемое следующим равенством: \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Воспользуемся этой формулой: Для k=0: w_1=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac\pi{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac\pi{12}\right)\right). Для k=1 будет справедливо уравнение: w_2=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}4\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}4\right)\right).  Для k=2: w_3=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{17\pi}{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{17\pi}{12}\right)\right). Задача на квадратный корень  Задача: Извлечь корень \sqrt z для заданных комплексных чисел в показательной форме: z=3\cdot e^{\frac\pi3\cdot i}. Решение: Определим значение модуля и аргумента в тригонометрической форме записи: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right): r=3, ф=\frac\pi3. Подставляем ф в равенство: z=3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi3\right)+i\sin\left(\frac\pi3\right)\right). Воспользуемся формулой \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Для k=0 справделиво уравнение: w_1=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi6\right)+i\sin\left(\frac\pi6\right)\right); Для k=1: w_2=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)+i\sin\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)\right)=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{7\pi}6\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}6\right)\right).