Алгоритм интегрирования рациональных дробей

Что такое интегрирование рациональных дробей

Изучая математику, нередко можно встретить примеры с числами и буквами разной сложности. Выражения с переменными относят к типу рациональных. Подобные записи требуется сравнивать, упрощать, выполнять с ними разнообразные алгебраические операции. К данному формату записи дробей следует подойти ответственно, так как действия с ними сопровождаются некоторыми нюансами и ограничениями.

Исследуя рациональные дробные числа можно заметить, что в знаменателе и числителе находятся многочлены. В связи с этим в процессе решения задач предстоит выполнять их разложение на множители, руководствуясь определенным алгоритмом. С математической точки зрения значение, которое допустимо представить, как стандартную дробь, относят к рациональным. При этом числитель может быть записан в виде целочисленного значения, а на месте знаменателя допускается расположение натурального числа.

В рассматриваемом формате записи чисел роль делимого и делителя играют записи в виде сложения определенного количества одночленов. Когда математическое выражение содержит в своей записи отрицательный знак, можно им пренебречь, так как этот минус отнесен к числовому коэффициенту, записанному рядом с одночленом. Несмотря на наличие подобного условия, многочлен и в данном случае представляет собой сумму одночленов.

Одним из распространенных действий с рациональными дробями является интегрирование. Из теоретического курса алгебры известно, что интегральное исчисление включает в себя множество понятий, к примеру, таких, как первообразная и предел. Если знать основные формулы и уметь применять их на практике, то проблем с вычислением интегралов не возникнет, в том числе, и при работе с рациональными дробями.

При изучении основ интегрирования задания с рациональными дробями или другими числами не кажутся чрезмерно сложными. В процессе выполнения вычислений необходимо лишь внимательно ознакомиться со структурой записи, перемножить слагаемые, суммировать итоги расчетов между собой. В упрощенном понимании интеграл представляет собой суммирование неограниченного числа произведений слагаемых, которые являются бесконечно малыми.

В процессе вычисления интегралов от рациональных дробей важно учитывать ряд полезных правил и математических соотношений. К примеру, при выборе формулы для интегрирования целесообразно в первую очередь обращать внимание на корни многочлена, который записан в знаменателе дробного числа. Рассмотрим несколько вероятных вариантов записи многочлена \(ax^2+bx+c\):

1. При наличии исключительно комплексных корней нужно из многочлена извлечь полный квадрат, таким образом: \(\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{mx+n}{x^2 \pm a^2}.\)
2. Когда имеются разные корни \(x_1 и x_2\) из множества действительных чисел, необходимо разложить интеграл и вычислить значения неопределенных коэффициентов A и B: \(\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{x-x_1} dx + \int \frac{B}{x-x_2} dx.\)
3. Если записан в многочлене единственный кратный корень \(x_1\), то целесообразно разложить рассматриваемый интеграл и вычислить значения коэффициентов A и B, которые не определены, для следующего соотношения: \(\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{(x-x_1)^2}dx + \int \frac{B}{x-x_1} dx.\) 

Теперь представим, что дробь не является правильной. На этот случай также есть эффективный вариант для интегрирования. Известно, что у неправильного дробного числа наибольшая степень в числителе больше, либо имеет такое же значение, что и большая степень в записи знаменателя. В таком случае необходимо в первую очередь преобразовать дробное число и представить его в виде правильной дроби. Это несложно, если многочлен, который расположен в числителе, поделить на многочлен из знаменателя. Тогда формула расчета интеграла примет следующий вид:

\(\int \frac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx = \int Q(x) dx + \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx\)

Методы интегрирования

Наиболее распространен метод интегрирования рациональной дроби, смысл которого заключается в изменении записи числа и преобразовании его к наиболее простому виду. Из теоретического курса знакомо такое действие, как представление какой-либо произвольной рациональной дроби в формате сложения многочлена и окончательного количества наиболее простых дробей. К данному типу дробных чисел относят следующие варианты значений:

\(\frac {A}{(x-x_{0})^{k}}\)

\(\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}}\)

В рассматриваемых примерах под записью \(x^{2}+px+q \) подразумевают квадратный трехчлен, который имеет дискриминант со знаком минуса. Любое из записанных дробных чисел подвергают процедуре интегрирования по отдельности. В результате, если возникает необходимость в разложении дроби на самые простые числа, то порядок действий заключается в расчете интеграла от простейших дробей. Проанализируем этапы подобного интегрирования.

Начинать действия следует с выделения из записи простейших дробных чисел. Предположим, что необходимо проделать эти манипуляции с дробью:

\(\frac {P(x)}{Q(x)}\)

Предположим, что записанное дробное число не представляется возможным записать в более упрощенной форме, а коэффициент, принадлежащий знаменателю, равен единице. Когда записанные условия не соблюдены, следует сначала выполнить сокращение дроби и переписать наибольший коэффициент знаменателя в числитель.

Заметим, что в состав правильной дроби включена сумма дробных чисел, которые являются правильными. Кроме того, в записи присутствует неправильная дробь и многочлен. Зная некоторые простые приемы, легко переписать неправильную дробь в правильное дробное число. Прием заключается в выделении целого компонента. На первом этапе нужно найти результат частого от деления числителя на знаменатель. При этом следует записать остаток.

Значение, которое получилось в итоге, представляет собой неполное частное G(x) и остаток R(x). С их помощью допустимо выполнить следующие математические преобразования:

\(\frac {P(x)}{Q(x)}=G(x)+\frac {R(x)}{Q(x)}\)

Дробное число \(\frac {R(x)}{Q(x)}\) записано в виде правильной дроби, что позволяет разложить выражение в сумму, в состав которой входят исключительно простые дробные числа. Рассмотрим второй вариант, когда \(\frac {P(x)}{Q(x)}\) являлась правильной дробью. В таком случае предыдущий этап можно пропустить и приступать к следующим действиям.

В результате разложения дробного числа, являющегося правильным, получают слагаемые в упрощенной записи в определенном формате, который определяется лишь многочленом Q(x). Согласно теоретическим закономерностям, какой-либо приведенный многочлен над действительными числами допустимо разложить в произведение приведенных линейных двучленов и приведенных квадратных трехчленов с дискриминантами, дополненными знаками минус. Выполним разложение знаменателя дробного числа в следующее выражение:

\(Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}...(x- x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{m_{1}}...(x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}\)

В данном соотношении \(k_j и m_{j}\) обозначают кратности соответствующих множителей, то есть число раз, в течение которых множитель входит в произведение. Каждое из простых дробных чисел при разложении содержит на месте в знаменателе степень какого-либо из подобных множителей. При этом данная степень меньше или равна кратности соответствующего множителя. Рассмотрим несколько типичных примеров.

Когда в разложении Q(x) имеется множитель \((x-x0)^{k}\), в разложении на простые дробные числа присутствует сумма:

\(\frac {A_{1}}{x-x_{0}}+\frac {A_{2}}{(x-x_{0})^{2}}+\frac {A_{3}}{(x-x_{0})^{3}}+...+\frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}\)

Таким же методом допустимо проанализировать ситуацию с разложением Q(x), в котором присутствует множитель \((x^{2}+px+q)^{m}\). Тогда в разложении на простые дробные числа имеется следующая сумма:

\(\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}+...+\frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m}}\)

Обобщенный формат разложения правильной дроби на простейшие подразумевает сумму всех рассматриваемых сумм для каждого из множителей в разложении многочлена Q(x). В результате получается универсальный принцип разложения на простейшие:

\(\frac {R(x)}{Q(x)}=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{k_{j}\frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m_{j}\frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}\)

Заметим, что при таком методе решения задач допустима ситуация, когда определенные слагаемые из представленной записи обладают нулевым значением. Записанное соотношение полезно для формулировки методики неопределенных коэффициентов. В процессе составляют уравнения на коэффициенты разложения, значения которых неизвестны. Самым простым способом записи подобных соотношений служит умножение всех компонентов на многочлен Q(x) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х.

Метод Остроградского

Записанная выше формула служит эффективным способом интегрирования рациональных дробей. В процессе выполнения вычислений достаточно представить задание, как интегрирование рациональной дроби со знаменателем, не имеющим кратных неприводимых множителей. Тогда расчеты значительно упрощаются и занимают меньше времени.

Смысл рассматриваемого соотношения достаточно понятен. Предположим, что по условию задания требуется найти интеграл от какой-либо рациональной функции. С этой целью можно воспользоваться формулой Остроградского. Знаменатели дробей из уравнения обладают известными значениями, а числители имеют степень меньше по сравнению со знаменателями. Данный факт позволяет подставить в знаменатели многочлены с коэффициентами, которые не определены.

\(T(x) = A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x + A_{0}\)

\(H(x) = B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x + B_{0}\)

Далее, используя способ неопределенных коэффициентов, легко вычислить значения этих коэффициентов. Затем целесообразно выполнить дифференцирование математического соотношения и привести запись к единому знаменателю. В результате пример будет сведен к  интегрированию дроби со знаменателем без кратных дробей. Дробь же со знаменателем без кратных корней существенно легче и быстрее интегрировать. Все содержащиеся в ней коэффициенты разложения достаточно просто рассчитать с помощью методики Хевисайда и использования комплексных корней.

Метод Остроградского подходит, когда выражение обладает большим числом кратных корней. С другой стороны, значительного упрощения процессов вычислений не происходит, так как в итоге расчетов получается довольно сложная система с уравнениями. Методика Остроградского призвана оптимизировать поиск рациональной части интеграла путем лишь алгебраических действий без понимания разложения знаменателя.

Предположим, что формула Остроградского имеет следующий вид записи:

\(\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {T(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {H(x)}{Q_{2}(x)}}\)

В таком случае \(Q_{1}(x)\) представляет собой максимально возможный единый делитель Q(x) и Q'(x). Определить этот параметр допустимо с применением техники вычислений Евклида. Многочлен \(Q_{2}(x)\) вычисляют с помощью частного от деления Q(x) и \(Q_{1}(x)\). Затем остается только соотнести знаменатели и найти корни системы, состоящей из линейных уравнений.

Примеры решения задач

Решение

На первом этапе целесообразно определить, чему равны корни следующего выражения:

\(x^2+5x-6 = 0\)

\(x_{12} = \frac{-5\pm \sqrt{25-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}\)

Запишем полученные в результате вычислений значения переменной:

\(x_1 = \frac{-5-7}{2} = -6\)

\(x_2 = \frac{-5+7}{2} = 1\)

Выполним преобразования интеграла с помощью корней, найденных ранее:

\(\int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} dx\)

Заметим, что в данном случае можно разложить рациональную дробь. Таким образом:

\(\frac{x+2}{(x-1)(x+6)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+6} = \frac{A(x-6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)}\)

Далее следует соотнести значения, полученные в числителях, и вычислить коэффициенты А и В:

A(x+6)+B(x-1)=x+2

Ax + 6A + Bx - B = x + 2

\(\begin{cases} A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} A = \frac{3}{7} \\ B = \frac{4}{7} \end{cases}\)

На следующем шаге стоит выполнить подстановку в запись интеграла рассчитанных коэффициентов. В результате значительно упрощается решение задачи:

\(\int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)}dx = \int \frac{\frac{3}{7}}{x-1} dx + \int \frac{\frac{4}{7}}{x+6} dx = \frac{3}{7} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{4}{7} \int \frac{dx}{x+6} = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C\)

Ответ: \(\int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C\)

Решение

Заметим, что в данном случае в задании записано дробное число, которое является правильным по определению. Вместе с тем, в многочлене присутствуют исключительно комплексные корни. Руководствуясь этими данными, целесообразно воспользоваться стандартным алгоритмом и начать расчеты с выделения полного квадрата:

\(\int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \int \frac{dx}{x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9}\)

Затем допустимо свернуть полный квадрат для записи выражения под знаком дифференциала x-5. Получим следующее соотношение:

\(\int \frac{dx}{(x-5)^2 - 9} = \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^2-9}\)

Воспользуемся уже знакомой из курса теории таблицей со значениями интегралов и вычислим ответ:

\(\frac{1}{2 \cdot 3} \ln \bigg | \frac{x-5 - 3}{x-5 + 3} \bigg | + C = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C\)

Ответ: \(\int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C.\)

Решение

Вспомним метод из теоретического материала и запишем для удобства математическое соотношение для выполнения дальнейших вычислений:

\(\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}\,dx\)

Проведем процедуру дифференцирования:

\(\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}=\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)^{2}-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)^{2}+(x-1)\cdot 2(x+1))}{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}+\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}\)

Заметим, что второе дробное число допустимо переписать в более сокращенном варианте:

\(\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}={\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)\cdot 2)}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}\)

Выполним приведение записи к единому знаменателю:

\(\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}=\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)\cdot 2)+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}\)

Поэтапно соотнесем числители и коэффициенты, записанные при наибольшей степени:

\(x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}\)

0=D

Благодаря этому приему, в дальнейшем не составит проблем соотнести между собой коэффициенты при старшей степени.

\(x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+E(x-1)(x+1)^{2}\)

Путем подстановки получим:

1=-2(A+B+C)

-1=4(A-B+C)

Запишем соотношение больших и меньших коэффициентов:

0=2A-A-2A+E

0=-B-C+2C-E

Суммируем полученные значения:

0=-A-B+C

В результате получилась тройка соотношений:

\(\begin{cases}-{\dfrac {1}{2}}=A+B+C,\\-{\dfrac {1}{4}}=A-B+C,\\0=-A-B+C;\end{cases}\)

Выполним необходимые преобразования:

\(-{\frac {1}{4}}=2B\)

\(B=-{\frac {1}{8}}\)

\(-{\frac {1}{2}}=2C\)

\(C=-{\frac {1}{4}}\)

\(А=B-C=-{\frac {1}{8}}\)

\(E=A=-{\frac {1}{8}}\)

По итогам расчетов получим следующее соотношение:

\(\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{8}}\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)}}\,dx\)

Выполним интегрирование:

\(\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)}}\,dx=\int {\frac {1}{x^{2}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|}+C\)

Таким образом, получим окончательный ответ:

\(\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{16}}\ln {\left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|}+C\)

Ответ: \(-{\frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{16}}\ln {\left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|}+C.\)