Как извлечь корень из комплексного числа

Комплексное число — это выражение вида \(x=a+b\cdot i\), где a и b — вещественные числа, а i — так называемая «мнимая единица». Если возвести ее в квадрат, получится отрицательное число. Таким образом, она определяется равенством \(i=\sqrt{-1}\) или \(i^2=-1.\)

Извлечение корня

Корнем со степенью n, извлеченным из комплексного числа z называют то число w, у которого n-ая степень равна z и обозначается как \(\sqrt[n]z.\)

Не существует однозначного извлечения корня из комплексного числа, так как он имеет то количество значений, которое равно его степени.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Тригонометрическая форма

Если число z представлено в тригонометрической форме \(z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right)\), то значения корня n-ой степени находятся по формуле:

\(\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)).\)

Где |z| — модуль комплексного числа, ф — аргумент, k — параметр, значения у которого 0,1,2…n-1.

Правильный n-угольник

Если посмотреть на извлечение корня n-ой степени с точки зрения геометрии, центр окружности с радиусом \(\sqrt[n]z\) расположен в точке О (0; 0), а все полученные значения, расположенные на ней, образуют правильный n-угольник (как это представлено на чертеже выше).

Алгебраическая форма

Если из данного числа z нужно извлечь корень n-ой степени, а он представлен в алгебраической или показательной форме, необходимо выполнить извлечение по пунктам:

  1. Представить число в тригонометрической форме: вычислить модуль \(\left|z\right|\) и аргумент (ф).
  2. Полученные значения применить в тригонометрической форме: \(z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right).\)
  3. Извлечь корни по формуле, приведенной выше.

Алгоритм вычисления квадратного и кубического корня

Задача на кубический корень

Задача:

Извлечь кубический корень\( \sqrt[3]z\), где \(z=\frac12+\frac12\cdot i\) в алгебраической форме.

Решение:

Вспомним, что тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит так: \(z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right).\)

По условию мы знаем, что \(a=\frac12\) и \(b=\frac12.\)

Можем вычислить исходное значение комплексного числа:

\(r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac14}=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}.\)

Теперь посчитаем аргумент исходного комплексного числа:

\(ф=arg(z)=arc\tan\left(\frac{1/2}{1/2}\right)=arc\tan\left(1\right)=\frac\pi4.\)

Далее подставим значения в тригонометрическую форму записи и получим:

\(z=\frac{\sqrt2}2\cdot\left(\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\right).\)

Мы знаем, что корнем n-ой степени некоторого числа \(z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right)\) является комплексное число, определяемое следующим равенством:

\(\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)).\)

Воспользуемся этой формулой:

Для k=0: \(w_1=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac\pi{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac\pi{12}\right)\right).\)

Для k=1 будет справедливо уравнение:

\(x w_2=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}4\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}4\right)\right).\)

Для k=2:

\(w_3=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{17\pi}{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{17\pi}{12}\right)\right).\)

Задача на квадратный корень 

Задача:

Извлечь корень \(\sqrt z\)  для заданных комплексных чисел в показательной форме:

\(z=3\cdot e^{\frac\pi3\cdot i}.\)

Решение:

Определим значение модуля и аргумента в тригонометрической форме записи: \(z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right):\)

r=3, \(ф=\frac\pi3.\)

Подставляем ф в равенство: \(z=3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi3\right)+i\sin\left(\frac\pi3\right)\right).\)

Воспользуемся формулой \(\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)).\)

Для k=0 справедливо уравнение:

\(w_1=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi6\right)+i\sin\left(\frac\pi6\right)\right);\)

Для k=1: \(w_2=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)+i\sin\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)\right)=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{7\pi}6\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}6\right)\right).\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 5.00 (Голосов: 2)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»