Четыре замечательные точки треугольника

Что такое замечательные точки треугольника

Определение

Замечательные точки треугольника — это точки, расположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке рассматривать его стороны и углы.

Всего замечательных точек четыре. Две из них открыл Евклид, вписывая в треугольник окружности, третья, точка пересечения медиан, обнаружена Архимедом. Четвертая, в которой пересекаются высоты треугольника, не упоминалась в трудах Евклида, но описывалась в трудах его современников. Возможно, Евклид и Архимед просто упорядочили и записали доказательства теорем, известных задолго до них.

Особенность замечательных точек в том, что они в любом треугольнике являются пересечением трех линий, при этом их свойства не меняются:

  • биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга;
  • перпендикуляры от середин сторон пересекаются в центре описанного круга;
  • высоты пересекаются в ортоцентре, точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, находятся на описанном круге;
  • медианы пересекаются в барицентре (он же центроид, или геометрический центр).

В XVIII веке математик Леонард Эйлер, исследуя геометрию треугольников, доказал, что три из этих точек — ортоцентр, барицентр и центр описанного круга — всегда расположены на одной линии. Она называется прямой Эйлера. Точки стали называть «замечательными» или «особенными».

Четыре замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан треугольника

В ней находится центр тяжести однородной треугольной пластины, также она является средним арифметическим положений всех точек треугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Теорема

Медианы треугольника пересекаются в его геометрическом центре и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.

Доказательство

Обозначим точку пересечения медиан О и проведем среднюю линию треугольника \(А^1В^1\).

Теорема медианы треугольника
 

Отрезок \(А_1В_1\) параллелен \(АВ\), поэтому углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Таким образом, треугольники \(АОВ\) и \(А_1ОВ_1\) подобны по двум углам, и их стороны пропорциональны. \(АВ = 2А_1В_1\), значит, \(АО = 2А_1О\) и \(ВО = 2В_1О\), а точка О разделяет медианы на отрезки с отношением 2:1, считая от вершин. Аналогично она делит медиану \(СС_1\).

Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения трех биссектрис расположена на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится в центре вписанного в треугольник круга.

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Следствие

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Проведем из точки пересечения биссектрис \(АА_1\) и \(ВВ_1\) отрезки \(ОК\), \(ОL\) и \(ОМ\), перпендикулярные трем сторонам треугольника.

Теорема биссектрисы треугольника
 

Согласно теореме о равной удаленности точек биссектрисы от сторон угла, ОК = ОМ и ОК = ОL. Соответственно, ОМ = ОL, точка О находится на равном расстоянии от сторон угла АСВ и расположена на биссектрисе. Таким образом, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Линии, проходящие через середины сторон треугольника перпендикулярно к ним, пересекаются в центре круга, описанного вокруг треугольника. В остроугольном треугольнике точка пересечения перпендикуляров расположена внутри него, в тупоугольном — снаружи. Если треугольник прямоугольный, точка находится на гипотенузе.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому он перпендикулярен.

Следствие

Серединные перпендикуляры от сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим внутри треугольника АВС перпендикуляры m и n, отметим точку их пересечения О. 

Теорема перпендикуляры треугольника
 

Согласно теореме о равной удаленности серединных перпендикуляров от концов отрезка, ОВ = ОА и ОВ = ОС. Соответственно, ОА = ОС, и точка О находится на одинаковом расстоянии от точек А и С. Таким образом, серединный перпендикуляр р к отрезку АС тоже будет проходить через точку О, и все три перпендикуляра пересекутся в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника

Высоты или их продолжения могут пересекаться как внутри треугольника, если он остроугольный, так и вне его, если он тупоугольный. Если треугольник прямоугольный, тогда ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

Теорема

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим произвольный треугольник \(АВС\) и прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(СС_1\), содержащие его высоты. Проведем через каждую вершину прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника, получив треугольник\( A_2B_2C_2\). Точки А, В и С окажутся серединами его сторон.\( АВ = A_2C = В_2C\), так как эти отрезки являются противоположными сторонами параллелограммов \(АВА_2С\) и \(АВСВ_2\). Соответственно, \(С_2А = АВ_2\) и \(С_2В = ВА_2\).

Теорема высот треугольника
 

Из построения следует, что отрезок \(СС_1\) перпендикулярен \(А_2В_2\), \(АА_1 \perp В_2С_2\) и \(ВВ_1 \perp А_2С_2\). Следовательно, прямые \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\) — серединные перпендикуляры сторон треугольника \(А_2В_2С_2\), которые пересекутся в одной точке.

Примеры решения задач

Задача 1

Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D, лежащей на стороне треугольника ВС. Докажите, что точка D — середина стороны ВС.

Решение

Изобразим треугольник АВС.

Задача
 

Все серединные перпендикуляры должны пересекаться в одной точке, если два из них уже пересеклись, третий тоже должен проходить через точку D. Таким образом, точка D является основанием третьего серединного перпендикуляра и расположена посередине стороны ВС.

Задача 2

Биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника АВС пересекаются в точке D. Найдите углы АСD и ВСD, если известно, что угол АDB составляет \(136^\circ\).

Решение

Поскольку биссектрисы пересекаются в точке D, луч СD является биссектрисой. Тогда

\(\angle АСD\;=\;\angle BCD\;=\;\frac{\angle C}2\;=\;\frac{180^\circ\;-\;\angle A\;-\;\angle B}2\;=\;90^\circ\;-\;\frac{\angle A}2\;-\;\frac{\angle B}2\;=\;90^\circ\;-\;(180^\circ\;-\;\angle ADB)\;=\;\angle ADB\;-\;90^\circ\)

\(\angle АСD\;=\;\angle BCD\;=\;136^\circ\;-\;90^\circ\;=\;46^\circ\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.25 (Голосов: 12)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Другие статьи:

Извлечение корня из комплексного числа

Комплексное число — это выражение вида x=a+b\cdot i, где a и b — вещественные числа, а i — так называемая «мнимая единица». Если возвести ее в квадрат, получится отрицательное число. Таким образом, она определяется равенством i=\sqrt{-1} или i^2=-1. Извлечение корня Определение Корнем со степенью n, извлеченным из комплексного числа z называют то число w, у которого n-ая степень равна z и обозначается как \sqrt[n]z.  Не существует однозначного извлечения корня из комплексного числа, так как он имеет то количество значений, которое равно его степени. Тригонометрическая форма Если число z представлено в тригонометрической форме z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right), то значения корня n-ой степени находятся по формуле: \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Где |z| — модуль комплексного числа, ф — аргумент, k — параметр, значения у которого 0,1,2…n-1. Если посмотреть на извлечение корня n-ой степени с точки зрения геометрии, центр окружности с радиусом \sqrt[n]z расположен в точке О (0; 0), а все полученные значения, расположенные на ней, образуют правильный n-угольник (как это представлено на чертеже выше). Алгебраическая форма Если из данного числа z нужно извлечь корень n-ой степени, а он представлен в алгебраической или показательной форме, необходимо выполнить извлечение по пунктам: Представить число в тригонометрической форме: вычислить модуль \left|z\right| и аргумент (ф). Полученные значения применить в тригонометрической форме: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right). Извлечь корни по формуле, приведенной выше. Алгоритм вычисления квадратного и кубического корня Задача на кубический корень Задача: Извлечь кубический корень \sqrt[3]z, где z=\frac12+\frac12\cdot i в алгебраической форме. Решение: Вспомним, что тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right).  По условию мы знаем, что a=\frac12 и b=\frac12. Можем вычислить исходное значение комплексного числа: r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac14}=\sqrt{\frac12}=\frac1{\sqrt2}. Теперь посчитаем аргумент исходного комплексного числа: ф=arg(z)=arc\tan\left(\frac{1/2}{1/2}\right)=arc\tan\left(1\right)=\frac\pi4. Далее подставим значения в тригонометрическую форму записи и получим: z=\frac{\sqrt2}2\cdot\left(\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\right). Мы знаем, что корнем n-ой степени некоторого числа z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right) является комплексное число, определяемое следующим равенством: \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Воспользуемся этой формулой: Для k=0: w_1=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac\pi{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac\pi{12}\right)\right). Для k=1 будет справедливо уравнение: w_2=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+2\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{3\pi}4\right)+i\cdot\sin\left(\frac{3\pi}4\right)\right).  Для k=2: w_3=\sqrt[3]z=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi/4+4\pi}3\right)\right)=\sqrt[3]{\frac2{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{17\pi}{12}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{17\pi}{12}\right)\right). Задача на квадратный корень  Задача: Извлечь корень \sqrt z для заданных комплексных чисел в показательной форме: z=3\cdot e^{\frac\pi3\cdot i}. Решение: Определим значение модуля и аргумента в тригонометрической форме записи: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right): r=3, ф=\frac\pi3. Подставляем ф в равенство: z=3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi3\right)+i\sin\left(\frac\pi3\right)\right). Воспользуемся формулой \sqrt[n]z=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cdot(\cos\left(\frac{ф+2nk}n\right)+i\sin\left(\frac{\;ф+2nk}n\right)). Для k=0 справделиво уравнение: w_1=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi6\right)+i\sin\left(\frac\pi6\right)\right); Для k=1: w_2=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)+i\sin\left(\frac{\pi/3+2\pi}2\right)\right)=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac{7\pi}6\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}6\right)\right).