Вынесение числа из-под корня

Вынесение числа из-под корня — что значит

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения \(\sqrt[n]{a^n\times b}\) на произведение \(a\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число, и на произведение \(\left|a\right|\times\sqrt{\left|b\right|}\), если n — четное число.

Вынесение числа (или множителя) из-под корня позволяет упрощать выражения, например, сокращать дроби или выносить общий множитель. 

Смысл вынесения множителя из-под корня заключается в том, чтобы разложить число под корнем на несколько, хотя бы одно из которых можно освободить от знака корня. Однако выноситься из-под корня может неограниченное количество множителей.

Обычно число выносят из-под корня с помощью разложения числа на произведение. Рассмотрим, почему такое действие в принципе возможно.

Почему возможно заменить корень на произведение

Теория преобразования иррациональных выражений дает сформулировать два основных положения:

1. Нечетное выражение \(\sqrt[n]{a\times b}\) можно заменить на \(\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b\). Чётное выражение \(\sqrt[n]{a\times b}\) — на \(\sqrt[n]{\left|a\right|}\times\sqrt[n]{\left|b\right|}\)
2. Нечетное выражение \(\sqrt[n]{a^n}\) можно заменить на a. Чётное выражение \(\sqrt[n]{a^n}\) — на \( \left|a\right|.\)

Зная эти положения и свойства модуля, можем вывести следующие выражения:

1. \(\sqrt[n]{a^n\times b}=\sqrt[n]{a^n}\times\sqrt[n]b=a\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число.
2. \(\sqrt[n]{a^n\times b}=\sqrt[n]{\left|a^n\right|}\times\sqrt[n]{\left|b\right|}=\sqrt[n]{\left|a\right|^n}\times\sqrt[n]{\left|b\right|}=\left|a\right|\times\sqrt[n]{\left|b\right|}\), если n — четное число.

Наконец, беря данные выражения за основу наших преобразований, получаем две формулы:

1. \(\sqrt[n]{{a^n}_1\times{a^n}_2\times...\times{a^n}_k\times b}=a_1\times a_2\times...\times a_k\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число.
2. \(\sqrt[n]{{a^n}_1\times{a^n}_2\times...\times{a^n}_k\times b}=\left|a_1\right|\times\left|a_2\right|\times...\times\left|a_k\right|\times\sqrt[n]{\left|b\right|}\), если n — четное число.

a в данном случае может быть не только числом, но и отдельным выражением.

Как вынести множитель из-под знака корня

Для вынесения множителя из-под корня можно записать одно общее правило. Оно обосновано тем фактом, что выражение под корнем чаще всего приходится приводить к виду \(a^n\times b\).

Определение

Для того чтобы вынести множитель из-под корня в выражении \(\sqrt[n]A\), нужно привести корень к виду \(\sqrt[n]{a^n\times b}\) и после перейти к произведению \(a\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число, или к \(\left|a\right|\times\sqrt[n]{\left|b\right|}\), если n — четное число.

В целом, единственное отличие выражений с четным показателем от выражений с нечетным — наличие модуля, который при необходимости раскрывают.

Необходимые операции и определения

После того как нам стало известно основное определение, перейдем к более детальному рассмотрению процесса вынесения множителя из-под корня.

Вспомним, что основой вынесения числа из-под корня является разложение на множители. Для этого используются следующие приемы:

1. Вынесение общего множителя за скобки. При использовании данного метода мы находим число, на которое можно поделить каждую составляющую выражения, непосредственно делим на него выражение и выносим это число за скобки.
2. Группировка множителей. При использовании данного метода мы объединяем определенные множители в группы и правильно расставляем скобки.
3. Использование формул сокращенного умножения.
4. Комбинация данных методов.

Формул сокращенного умножения:

• \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
• \({(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2\)
• \({(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2\)

Мы уже знаем, что вынесение множителя из-под корня n-ной степени — это упрощение выражения с помощью записи одного из множителей перед знаком корня. Опишем этот процесс пошагово:

1. Раскладываем выражение под корнем на простые множители.
2. Представляем множители в виде простых чисел в натуральной степени.
3. Делим показатели степени множителей на показатель корня.
4. Выносим множитель в полученной степени из-под корня.

Примеры решения на практике

Пример 1

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

\(\sqrt{2^2\times7}\)

Решение

Используем правило вынесения множителя из-под четного корня:

\(\sqrt{2^2\times7}=\left|2\right|\times\sqrt{\left|7\right|}=2\times\sqrt7\)

Пример 2

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

\(\sqrt{72x}\)

Решение

Разложим число 72 на множители, показатель одного из которых равен показателю корня:

\(\sqrt{72x}=\sqrt{36\times2х}=\sqrt{36}\times\sqrt{2x}=6\times\sqrt{2x}\)

Пример 3

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

\(\sqrt[7]{128x^{14}y^3}\)

Решение

Преобразуем выражение по правилам вынесения множителя из-под нечетного корня и разложения числа на множители:

\(\sqrt[7]{128x^{14}y^3}=\sqrt[7]{128}\times\sqrt[7]{x^{14}}\times\sqrt[7]{y^3}=2x\sqrt[7]{y^3}\)