Возведение числа в дробную степень

Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней

Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.

Правило возведения

В математической форме это правило выглядит так:

\(a^\frac qp=\;\sqrt[p]{a^q},\;a\geq0,\;p>0,\;q>1\)

Правило, когда показатель степени является дробью

Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:

\(625^{0,75} = 625^\frac3{4\;} = \sqrt[4]{625^3} = 53 = 125\)

В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:

\(\left(15\frac58\right)^\frac23\;=\;\left(\frac{125}8\right)^\frac23\;=\;\sqrt[3]{\left(\frac{125}8\right)^2}\;=\;\left(\sqrt[3]{\frac{125}8}\right)^2\;=\;\left(\frac52\right)^2\;=\;\frac{25}4\;=\;6\frac14\)

При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу:

\(\left(\frac ab\right)^{-n}\;=\;\left(\frac ba\right)^n\)

К примеру:

\(625^{-\frac34}\;=\;\frac1{625^{\frac34}}\;=\;\frac1{\sqrt[4]{625^3}}\;=\;\frac1{5^3}\;=\;\frac1{125}\)

Решение в виде задачи, примеры

Пример 1

Найти: \(81^\frac14\)

Решение

\(81^\frac14=\sqrt[4]{81^1}=3\)

Ответ: 3.

Пример 2

Вычислить: \(135^\frac9{10}\)

Решение

\(135^\frac9{10}=\;\sqrt[10]{135^9}\)

Ответ: \(\;\sqrt[10]{135^9}\).

Пример 3

Найти: \(\left(1\frac35\right)^\frac13\)

Решение

\(\left(1\frac35\right)^\frac13=\left(\frac85\right)^\frac13=\sqrt[3]{\left(\frac85\right)^1}=\sqrt[3]{\frac85}=\sqrt[3]{\frac{2^3}5}=\frac2{\sqrt[3]5}\)

Ответ: \(\frac2{\sqrt[3]5}\).