Способы вычисления координат вектора

Что такое координаты вектора — какие операции можно производить

Три попарно перпендикулярные прямые с определенными направлениями и единицей измерения в геометрии составляют систему координат в пространстве. Точка, в которой пересекаются данные прямые, представляет собой начало координат.

Koord_sist2.png
Источник: www.yaklass.ru

Оси координат:

  1. \(Ox\) — ось абсцисс.
  2. \(Oy\) — ось ординат.
  3. \(Oz\) — ось аппликат.

Через две прямые, которые пересекаются, можно построить плоскость. Таким образом, образуются три координатные плоскости в виде:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • \((Oxy)\);
  • \((Oyz)\);
  • \((Oxz)\).
Koord_sist3.png
Источник: www.yaklass.ru

Определить положение точки \(А\) в пространстве можно с помощью трех координат \(x, y\) и \(z\).

Koord_sist1.png
Источник: www.yaklass.ru

Координата x является понятием абсциссы точки \(A\), координата y — определяет ординату точки \(A\), координата \(z\) — аппликату точки \(A\).

Запись имеет следующий вид:

\(A(x;y;z)\).

Варианты расположения точки:

  • в том случае, когда точка расположена на оси \(Ox\), ее координаты — \(X(x;0;0)\);
  • при нахождении точки на оси \(Oy\) она характеризуется координатами \(Y(0;y;0)\);
  • если точка принадлежит оси \(Oz\), ее координаты — \(Z(0;0;z)\);
  • точка, лежащая в плоскости \(Oxy\), обладает координатами \(A1(x;y;0)\);
  • в том случае, когда расположение точки совпадает с плоскостью \(Oyz,\) она обладает координатами \(A2(0;y;z)\);
  • если точка расположена в плоскости \(Oxz\), то данная точка имеет координаты \( A3(x;0;z)\).
Koord_sist_vekt.png
Источник: www.yaklass.ru

Допустим, что в системе координат существуют некие единичные векторы \(\overrightarrow { i }\)\(\overrightarrow { j }\) и \(\overrightarrow { k }\), которые были отложены от начала координат. В этом случае допустимо определить прямоугольный базис. Какой-либо вектор раскладывается на единичные вектора и записывается в виде:

\(\overrightarrow {OA}=x⋅\overrightarrow { i }+y⋅\overrightarrow { j }+z⋅\overrightarrow { k }\)

Коэффициенты \(x\)\(y\) и \( z\) могут иметь одно единственное значение и являются координатами вектора.

Определение

В прямоугольной системе координат \(Х0у\) проекции х и у вектора \(\overrightarrow {OA}\) на оси абсцисс и ординат называют координатами вектора. То есть координаты вектора являются числами, описывающими положение вектора относительно координатной плоскости.

Координатами вектора, начало которого совпадает с точкой \(A(x1; y1)\), а конец — соответствует точке \(B(x2; y2)\), называют числа:

\(a1 = x2 — x1\);

\(a2 = y2 — y1\).

Координаты вектора записывают в таком виде:

\(\overrightarrow {OA}{x;y;z}\).

Koord_sist4.png
Источник: www.yaklass.ru

Правила записи с помощью координат:

Координаты суммы векторов при наличии известных координат векторов: 

Координаты суммы векторов при наличии известных координат векторов
Источник: www.yaklass.ru

Координаты разности векторов при заданных координатах векторов: 

Координаты разности векторов при заданных координатах векторов
Источник: www.yaklass.ru

Координаты произведения вектора на число при наличии определенных координатах вектора: 

Координаты произведения вектора
Источник: www.yaklass.ru

Длина, которой обладает вектор:

Длина, которой обладает вектор
Источник: www.yaklass.ru

Координаты вектора при заданных координатах, которыми характеризуются начальная и конечная точки вектора: 

Координаты вектора
Источник: www.yaklass.ru

Расстояние по модулю, на которое удалены две точки с заданными координатами: 

Расстояние по модулю
Источник: www.yaklass.ru

Координаты серединной точки отрезка, когда заданы координаты начальной и конечной точек отрезка: 

Координаты серединной точки
Источник: www.yaklass.ru.

Координаты вектора обладают следующими свойствами:

  1. Какие-либо равные векторы в единой системе координат обладают идентичными координатами.
  2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны в том случае, когда ни один из векторов не обладает нулевым значением.
  3. Квадрат длины какого-либо вектора определяется как сумма квадратов его координат.
  4. В процессе умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
  5. Когда требуется сложить вектора, следует определить сумму соответствующих координат данных векторов.
  6. Скалярное произведение пары векторов соответствует сумме произведений их соответствующих координат.

Способы представления, как записываются

Общепринятой является запись координат вектора в виде:

\((х, у)\).

Непосредственно вектор обозначают, как:

\(\overrightarrow {AB} =(х, у)\).

Координаты вектора записывают в круглых скобках рядом с буквенным обозначением вектора:

\(\overrightarrow {AB} (a_1 ;a_2 )\)

или

\(\overrightarrow a (a_1 ;a_2 )\)

В некоторых случаях допустимо использовать запись координат вектора без буквенного обозначения, то есть со знаком вектора над скобками:

\(\overrightarrow {(a_1 ;a_2 )}\)

Нулевой вектор обладает нулевыми координатами:

\(\overrightarrow 0 (0;0)\)

Методы вычисления координат вектора

В том случае, когда определены координаты начала и конца вектора \(\overline{AB}:\ A\left(x_{1} ;\; y_{1} \right),\; B\left(x_{2} ;\; y_{2} \right)\), при вычислении его координат требуется от координат конца отнять соответствующие координаты начала:

\(\overline{AB}=\left(x_{2} -x_{1} ;\; y_{2} -y_{1} \right)\)

Формула определения координат вектора для двухмерных задач: в рассматриваемом случае вектор \( \overline{AB} \)с заданными координатами точек \(A(х1;у1) и B(x2;y2)\) можно найти по формуле:

\(\overline{AB}=(x2 – x1 ; y2 – y1).\)

Формула определения координат вектора для пространственных задач: если требуется решить пространственную задачу на нахождение вектора \(\overline{AB}\), координаты точек \(A(х1;у1;z1) и B(x2;y2;z2)\) которого известны, следует воспользоваться формулой:

\(\overline{AB}=(x2 – x1 ; y2 – y1; z2 – z1)\)

С помощью вычисления координат вектора можно определить его характеристики, в том числе найти длину вектора. Зная координаты, достаточно просто построить вектор.

Примеры задачи на нахождение координат вектора

Задача 1

Существуют пары точек:

\(A(-3; 7), B(2; -1)\);

\(С(5; 0), D(11; 8). \)

Необходимо определить координаты векторов:

\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} .\)

Решение:

С целью вычисления координат вектора необходимо из координат его конца (точки B) вычесть координаты начала (точки A):

\(\overrightarrow {AB} (2 - ( - 3); - 1 - 7)\)

\(\overrightarrow {AB} (5; - 8).\)

Аналогичным способом можно рассчитать координаты второго вектора:

\(\overrightarrow {CD} (11 - 5;8 - 0)\)

\(\overrightarrow {CD} (6;8)\)

Ответ: \(\overrightarrow {AB} (5; - 8); \overrightarrow {CD} (6;8).\)

Задача 2

Требуется вычислить координаты вектора \(\overline{AB}\) при условии, что:

\(A\left(-1;\; 2\right),\ B\left(2;\; -3\right)\)

Решение

Определить координаты, которым характеризуется вектор \(\overline{AB}\), исходя из известных по заданию координат его начальной точки \(A\left(-1;\; 2\right)\) и конечной точки \(B\left(2;\; -3\right)\), можно путем вычитания из координат конечной точки соответствующих координат начальной точки. Таким образом, первым и единственным действием в данном случае является:

\(\overline{AB}=\left(2-\left(-1\right)\, ;\; -3-2\right)=\left(3;\; -5\right)\)

Ответ: \(\overline{AB}=\left(3;\; -5\right)\)

Задача 3

Необходимо определить координаты точки \(A\), которая представляет собой начало вектора \(\overline{AB}=\left(0;\; -4;\; 3\right)\), а концом вектора является точка \(B\left(-1;\; 6;\; 1\right).\)

Решение 

Предположим, что точка \(A \) обладает следующими координатами:

\(A\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\)

В таком случае, вектор \(\overline{AB}\), при условии, что точка \(B\left(-1;\; 6;\; 1\right)\), характеризуется следующими координатами:

\(\overline{AB}=\left(-1-a_{1} ;\; 6-a_{2} ;\; 1-a_{3} \right)=\left(0;\; -4;\; 3\right)\)

Зная, что равенство двух векторов достигается при равенстве соответствующих координат этих векторов, можно записать следующие уравнения для вычисления неизвестных координат, которыми характеризуется точка \(А\):

\(-1-a_{1} =0\Rightarrow a_{1} =-1\)

\(6-a_{2} =-4\Rightarrow a_{2} =10\)

\(1-a_{3} =3\Rightarrow a_{3} =-2\)

В результате:

\(A\left(-1;\; 10;\; -2\right)\)

Ответ: \(A\left(-1;\; 10;\; -2\right)\)  

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.50 (Голосов: 2)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»