Формулы квадрата суммы и квадрата разности

Квадрат суммы и квадрат разности

Выражение \(\left(a+b \right)^{2}\) является квадратом суммы чисел a и b в алгебре. Согласно определению степени, данное выражение \(\left(a+b \right)^{2}\) представляет собой также произведение двух многочленов \((a + b)(a + b)\). Таким образом, запись квадрата суммы является доказательством, что:

\(\left(a+b \right)^{2}=\left(a+b \right)\left(a+b \right)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

Исходя из формулировки правила, вид общей формулы квадрата суммы, исключая промежуточные преобразования, будет такой:

\(\left(a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

Многочлен \(a^{2}+2ab+b^{2}\) является результатом разложения квадрата суммы. Зная, что а и b имеют свойство представлять собой любые числа или выражения, с помощью приведенного равенства можно достаточно быстро и просто возводить в квадрат любое выражение, которое допускается рассматривать в виде суммы двух слагаемых.

Выражение \(\left(a-b \right)^{2}\) является квадратом разности чисел a и b. Формулировка \(\left(a-b \right)^{2}\) соответствует произведению пары многочленов \((a - b)(a - b)\). Таким образом, запись квадрата разности позволяет сделать следующие выводы:

\(\left(a-b \right)^{2}=\left(a-b \right)\left(a-b \right)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)

Исходя из записанного утверждения, вид общей формулы квадрата разности, исключая промежуточные преобразования, будет следующий:

\(\left(a-b \right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)

Многочлен \(a^{2}-2ab+b^{2}\) является результатом разложения квадрата разности. Данное правило справедливо в случае сокращенного возведения в квадрат выражения, которое можно записать в виде разности двух чисел.

Особенности, как вывести с помощью Бинома Ньютона

Формула квадрата суммы:

\(\left(a+b \right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

Данное равенство можно вывести, если в выражении \((a + b)(a + b)\) раскрыть скобки и перемножить почленно ее компоненты:

\(\left(a+b \right)\left(a+b \right)=\left(a+b \right)\left(a+b \right)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

Аналогичные действия можно выполнить с кубом суммы:

\(\left(a+b \right)^{3}=\left(a+b \right)\left(a+b \right) \left(a+b \right)\)

Если раскрыть скобки и почленно перемножить компоненты уравнения, получим:

\(\left(a+b \right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

При необходимости возведения суммы в более высокую степень, почленным умножением выражений в скобках выполнить подобное действие достаточно сложно. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой бинома Ньютона.

С помощью формулы бинома Ньютона можно возводить сумму двух слагаемых в любую степень. Данное утверждение можно записать в таком виде:

\(\left(a+b \right)^{n}=\frac{\left(a+b \right)\left(a+b \right)\times ...\times \left(a+b \right)}{n}\)

Можно раскрыть скобки данного уравнения, выбрать из каждой скобки а, получим:

\(a^{n}\)

Предположив, что из (n-1) выберем а, а из одной скобки выберем b, получим:

\(a^{n-1}b\)

Данное произведение можно получить не один раз, в отличие от квадрата суммы или куба суммы, так как b можно выбрать из первой скобки, из второй и каждой последующей скобки. Количество вариантов выбрать b составляет n. В итоге получим равенство:

\(\left(a+b \right)^{n}=\left(a+b \right)\left(a+b \right)\times ...\times \left(a+b \right)=a^{n}+n\times a^{n-1}b+...\)

Предположив, что из k скобок можно выбрать число а, из оставшихся n-k скобок выберем число b, в итоге получим следующее выражение:

\(a^{k}b^{n-k}\)

Интересно, сколько вариантов из k скобок выбрать число а. То есть из n скобок выбрать k скобок, из которых выбрать число а. Это является точным сочетанием: выбрать k объектов из n без учета порядка, то есть:

\(C^{k}_{n}\)

Исходя из данного утверждения, получим равенство:

\((a+b)^{n}=(a+b)(a+b)\times ...\times (a+b)=a^{n}+...+C^{k}_{n}\times n\times a^{k}b^{n-k}+...\)

Если в данную формулу подставить все вариации k, которые соответствуют интервалу от 0 до n, то уравнение бинома Ньютона будет иметь следующий вид:

\((a+b)^{n}=(a+b)(a+b)\times ...\times (a+b)=a^{n}+...+C^{k}_{n}\times n\times a^{k}b^{n-k}+...+ C^{1}_{n}\times n\times a^{1}b^{n-1}+ b^{n}\)

Следует отметить наличие в формуле n и \(C^{1}_{n}\)

\(C^{1}_{n}\) является количеством способов выбрать из n объектов один. Таким методов n. Исходя из этого, n в формуле допускается заменять \(C^{1}_{n}\).

Также можно заменить n на \(C^{n-1}_{n}\).

Возможность замены объясняется количеством способов выбрать из n объектов один, которое соответствует количеству вариантов выбрать из n объектов n-1, так как n-1 аналогично, если не выбрать 1.

Формула будет преобразована следующим образом:

\((a+b)^{n}=(a+b)(a+b)\times ...\times (a+b)=a^{n}+...+C^{k}_{n}\times n\times a^{k}b^{n-k}+...+ C^{1}_{n}\times n\times a^{1}b^{n-1}+ b^{n}=\)

\(C^{n}_{n}a^{n}+C^{n-1}_{n}\times a^{n-1}\times b+...+C^{k}_{n}\times a^{k}\times b^{n-k}+...+C^{1}_{n}a^{1}b^{n-1}+C^{0}_{n}\times b^{n}=\sum_{i=0}^{n}{}C^{i}_{n}a^{n-i}b^{i}\)

Формула бинома Ньютона:

\((a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{}C^{i}_{n}a^{n-i}b^{i}\)

Формула разности квадратов

Выражение \(a^{2}-b^{2}\) является разностью квадратов чисел а и b. Выражение \(a^{2}-b^{2}\) соответствует сокращенному способу умножения суммы пары чисел на их разность:

\((a+b)(a-b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)

Исходя из правила, общая формула разности квадратов имеет такой вид:

\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)

Данное правило применимо в случае сокращенного умножения таких выражений, которые записаны в виде: одно в форме суммы двух чисел, а второе представляет собой разность этих же чисел.

Примеры задач с решением

Задача 1

Дано уравнение:

\((5a^{2}+3)(5a^{2}-3)\)

Произведение необходимо преобразовать в двучлен.

Решение

\((5a^{2}+3)(5a^{2}-3)=(5a^{2})^{2}-3^{2}=25a^{4}-9\)

Для данного уравнения была применена формула разности квадратов справа налево. Таким образом, имея правую часть равенства, можно преобразовать ее в левую:

\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)

Ответ: \(25a^{4}-9\)

Задача 2

Требуется представить квадрат разности в виде трехчлена:

\((2a^{2}-5ab^{2})^{2}\)

Решение

Согласно формуле квадрата разности, получим:

\((2a^{2}-5ab^{2})^{2}=(2a^{2})^{2}-2(2a^{2}\times 5ab^{2})+(5ab^{2})^{2}\)

Далее можно преобразовать полученное выражение в многочлен стандартного вида:

\((2a^{2})^{2}-2(2a^{2}\times 5ab^{2})+(5ab^{2})^{2}=4a^{2}-20a^{3}b^{2}+25a^{2}b^{2}\)

Ответ: \(4a^{2}-20a^{3}b^{2}+25a^{2}b^{2}\)

Задача 3

Необходимо возвести в квадрат следующее выражение:

\(3x^{2}+2xy\)

Решение

Исключая дополнительные преобразования, можно использовать формулу квадрата суммы. В итоге должно получиться выражение, равное сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

\(3x^{2}+2xy=(3x^{2})^{2}+2(3x^{2}\times 2xy)+(2xy)^{2}\)

Далее с помощью правил умножения и возведения в степень одночленов, можно упростить полученное выражение:

\((3x^{2})^{2}+2(3x^{2}\times 2xy)+(2xy)^{2}=9x^{4}+12x^{3}y+4x^{2}y^{2}\)

Ответ: \(9x^{4}+12x^{3}y+4x^{2}y^{2}\)