Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи
Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:
\(\Large{{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad a^t=b }}\)
Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:
\(t\in \mathbb{R}\)
В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.
Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:
\(\Large{a^{\log_ab}=b}\)
Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:
\({\large{\begin{array}{|ll|l|} \hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}} && \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\ &&\\ \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m - {\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\ &&\\ \textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m - {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n - {\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n - {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\ &&\\ \textbf{(8)} \log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\ &&\\ \textbf{(9)} a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\ &&\\ \textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ \textbf{(11'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ &&\\ {\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\ \textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \textbf{(12'}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \hline \end{array}}}\)
Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.
Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:
\(\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}|x|\)
В данном случае \(x^r,a > 0\), \(a \ne 1\).
Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:
\(\log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121\)
Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:
\(log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}5+2\log_{11}11\)
Известно, что:
\(\log_{a}a=1\)
Доведем вычисления до конца:
\(log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}5+2\log_{11}11=-3+2=-1\)
Ответ: \(\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}121=-1.\)
В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.
Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:
\(s \log_{a}x=\log_{a}x^s\)
Здесь a и b > 0, a≠1.
Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:
\(6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7\)
Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:
\(6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}x-7 \log_{13}x=12 \log_{13}x-7 \log_{13}x=5 \log_{13}x\)
Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:
\(6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}x-7 \log_{13}x=12 \log_{13}x-7 \log_{13}x=5 \log_{13}x=\log_{13}x^5.\)
Основные свойства логарифмов
При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.
1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:
\({{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\)
Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:
\({{\log }_{a}}b=x\)
В таком случае:
\({{a}^{x}}=b\)
В результате получим:
\(\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b\)
Данное свойство доказано.
2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:
\({{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\)
Начнем доказательство со следующего предположения:
\({{\log }_{a}}b=x\)
В таком случае:
\({{a}^{x}}=b\)
Представим, что:
\({{\log }_{a}}c=y\)
В таком случае:
\({{a}^{y}}=c\)
В результате получим, что:
\({{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)={{\log }_{a}}\left( {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x+y}}\underset{\text{по правилу 1}}{\mathop{=}}\,x+y={{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c\)
Свойство суммы логарифмов доказано.
3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:
\(lo{{g}_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\)
Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:
\({{\log }_{a}}b=x\)
В таком случае:
\({{a}^{x}}=b\)
Представим, что:
\({{\log }_{a}}c=y\)
В таком случае:
\({{a}^{y}}=c\)
В результате получим, что:
\({{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c\)
\({{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c}\cdot c \right)-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}+{{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}.\)
4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:
\({{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\)
Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:
\({{\log }_{a}}b=x\)
В таком случае:
\({{a}^{x}}=b\)
Получим, что:
\({{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{n}}={{\log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=n\cdot {{\log }_{a}}b\)
Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:
\({{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}\left( \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ раз}} \right)\text{ }\underset{\text{правило}\ \text{2}}{\mathop{=}}\,\text{ }\underbrace{{{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{\log }_{a}}b}_{n\text{ раз}}=n\cdot {{\log }_{a}}b.\)
Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.
5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:
\({{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\)
Докажем записанное соотношение, предположив, что:
\({{\log }_{a}}b=x\), тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\)
В таком случае:
\({{\log }_{{{a}^{n}}}}b={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{\frac{x\cdot n}{n}}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\frac{x}{n}}}=\frac{x}{n}=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b.\)
Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.
6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:
\({{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\)
В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:
\({{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}b.\)
7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:
\({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{ }\left( c>0;\text{ }\ne \text{1} \right)\)
Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:
\({{\log }_{a}}b=x,\) тогда \(\displaystyle {{a}^{x}}=b\)
В таком случае:
\(\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b.\)
8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:
\({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)\)
Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:
\({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{b}}b}{{{\log }_{b}}a}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}.\)
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Дано выражение, значение которого требуется определить:
\(\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25\)
Решение
Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:
\(\log _{a} a=1.\)
Выполним вычисления:
\(\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=\log _{2} 2^{-3}+\log _{5} 5^{2}=-3 \cdot \log _{2} 2+2 \cdot \log _{5} 5=-3+2=-1\)
Ответ: \( \log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=-1\)
Требуется упростить следующее выражение:
\(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8\)
Решение
Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:
\(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 4^{2}-\log _{7} 8=\log _{7} 16-\log _{7} 8=\log _{7} \frac{16}{8}=\log _{7} 2\)
Ответ: \(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 2\)Задача 2
Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:
\(lo{{g}_{5}}250-{{\log }_{5}}2\)
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:
\({{\log }_{5}}250={{\log }_{5}}\left( 125\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{5}^{3}}\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2\)
Заметим, что:
\({{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{5}}2=3\)
Ответ: 3.
Нужно упростить следующее выражение:
\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3\)
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:
\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right).\)
Тогда, согласно свойствам логарифма:
\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3= \left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}2\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\cdot 3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\cdot \left( 1+{{\log }_{2}}3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\)
Ответ: 1.
Необходимо определить значение следующего выражения:
\(\frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}\)
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:
\(\frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}=\frac{{{\log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{2}}5}=\frac{2{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}5}=2\)
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельной работы
Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:
\({{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12\)
\({{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10\)
\({{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32\)
\(\lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}\)
\({{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}\)
Требуется найти значения для следующих выражений:
\(\displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}\)
\(\displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}\)
\(\displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}\)
Нужно определить значения записанных ниже выражений:
\({{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}\)
\({{\log }_{3}}36-2{{\log }_{3}}2\)
\({{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)\)
\(\frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
