Модуль комплексного числа

Что такое комплексное число

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

\(z\;=\;\left|z\right|\;\cdot\;(\cos\left(\varphi\right)\;+\;i\sin\left(\varphi\right))\)

В этом виде \(\left|z\right|\) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r. 

Если \(\left|z\right|\;=\;r,\) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

\(\left|z\right|\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2}\)

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

1. Модуль не отрицателен — \(\left|x\right|\;\geq\;0\). \(\left|x\right|\;=\;0\) только в том случае, если z = 0.
2. Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: \(\left|z_1\;+\;z_2\right|\;\leq\;\left|z_1\right|\;+\;\left|z_2\right|.\)
3. Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: \(\left|z_1\;\cdot\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\cdot\;\left|z_2\right|.\)
4. Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: \(\left|z_1\;\div\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\div\;\left|z_2\right|.\)
5. Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: \(\left|z_1\;-\;z_2\right|\;=\;\sqrt{\left(x_1\;-\;x_2\right)^2\;+\;\left(y_1\;-\;y_2\right)^2}\).

Что такое аргумент комплексного числа

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — \(360^\circ\;\cdot\;k\) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

\(\tan\left(\varphi\right)\;=\;\frac ba\)

\(\cos\left(\varphi\right)\;=\;\frac a{\sqrt{a^2\;+\;b^2}}\)

\(\sin\left(\varphi\right)\;=\;\frac b{\sqrt{a^2\;+\;b^2}}\)

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа \(z = x + iy\), это будет выглядеть следующим образом:

\(z\;=\;r\;(\cos\left(\varphi\right)\;+\;i\;\sin\left(\varphi\right))\)

Здесь \(r\) будет модулем комплексного числа \(z\), а \(\varphi\) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при \(z \neq 0\), комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна \(\sqrt{a^2\;+\;b^2}\).

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа \(z = a + bi\), тогда \(\left|x\right|\;=\;\sqrt{a^2\;+\;b^2}\).

Примеры решения задач

Задача 

Найти модуль числа \(z\;=\;-5\;+\;15i\)

Решение

\(x\;=\;Re\;z\;=\;-15\) — действительная часть, а \(y\;=\;Im\;z\;=\;15\) — мнимая часть комплексного числа \(z\;=\;-5\;+\;15i.\)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

\(r\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2}\;=\sqrt{{(-5)}^2\;+\;15^2}\;=\;\sqrt{25\;+\;225}\;=\;\sqrt{250} \)

Ответ: \(r\;=\;\sqrt{250}\)

Задача

Найти расстояние между числами \(z_1\;=\;1\;-\;3i,\;z_2\;=\;-2\;+\;2i\) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

\(\left|z_1\;-\;z_2\right|\;=\;\sqrt{{(x_1\;-\;x_2)}^2\;+\;\left(y_1\;-\;y_2\right)^2}\;=\;\sqrt{(1\;-\;{(-2))}^2\;+\;{(-2\;-\;2)}^2}\;=\;\sqrt{34}\)

Ответ: \(\sqrt{34}\)

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа \(\sqrt{34}\) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа \(z\;=\;1\;+\;\sqrt{3i}\) является число \(x = Re z = 1\), а мнимой частью является \(y = Im z\;=\sqrt3\), то аргумент можно вычислить по формуле:

\(\varphi\;=\;arg\;z\;=\;arctg\;\frac yx\;=\;arctg\;\frac{\sqrt3}1\;=\;arctg\;\sqrt3\;=\;\frac{\mathrm\pi}3\)

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль. 

\(r\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2}\;=\;\sqrt{1^2\;+\;{(\sqrt3)}^2}\;=\;\sqrt{1+3}\;=\;\sqrt4\;=\;2\)

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

\(z\;=\;2\;(\cos\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)\;+\;i\;\sin\left(\frac{\mathrm\pi}3\right))\)

Ответ: аргумент равен \(\frac{\mathrm\pi}3\). Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа \(z = 2 - i\)

Решение

Найдем \(\left|z\right|\;=\;\sqrt{2^2\;+\;{(-\;1)}^2}\;=\;\sqrt5.\)

Так как \(Re z = 2 > 0\), \(Im z = -1 < 0\), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства \(\tan\left(\varphi\right)\;=\;-\frac12\) следует:

\(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)

Ответ: \(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)