Наибольшее и наименьшее значение функции

Что такое наибольшее и наименьшее значение функции

Множество значений каждой функции ограничено, и для представления о ее свойствах часто бывает необходимо вычислить границы этого множества. Функция может обладать такими свойствами, как периодичность, четность и нечетность. Иногда это имеет значение при вычислении наибольшего и наименьшего значений, т. к. равенства, определяющие периодичность, четность и нечетность, ограничивают область определения.

Точки максимума и минимума функции также называют точной верхней и нижней гранью множества значений функции.

Как записать, каким символом обозначают

Обозначение независимой переменной, или аргумента функции — буква х, зависимой переменной, или значения функции — буква у. Выражение, содержащее х, записывают как \(f(x).\)

Максимум функции на множестве \([a;b]\), входящем в область ее определения, можно записать так: \(\;\underset{\lbrack a;b\rbrack\;}{y_{max}}\) или \({y_{max}}, y(x_{max})\), указав границы множества отдельно.

Минимум — \(\;\underset{\lbrack a;b\rbrack\;}{y_{min}}\) или \({y_{min}}, y(x_{min}).\)

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

Если \(x_{0}\) — точка экстремума, тогда \(f' (x_{0}) = 0.\)

Если в точке \(x_{0} f' (x)\) меняет знак с «+» на «-», то \(x_{0}\) — точка максимума.

Если в этой точке \(f' (x)\) меняет знак с «-» на «+», то \(x_{0}\) — точка минимума.

Как найти через производную на отрезке \([а; b]\), формулы

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке \([а; b]:\)

1. Вычислить производную\( f'(x).\)
2. Найти критические точки f(х) на отрезке \([а; b]\): производная будет равна нулю при х, равном искомым точкам.
3. Найти значения функции в критических точках \(f (x_{1}),\) \(f (x_{2})\) и т. д.
4. Вычислить\( f (а)\), \(f (b).\)
5. Выбрать наименьшее и наибольшее значение из ряда вычисленных точек, включающем не только критические точки, но и крайние точки отрезка.

Производная функции \(у = f(x)\) в точке \(x_{0}\) — это предел отношения приращения функции к точке \(x_{0}\) к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Это можно выразить следующей формулой:

\(f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x}.\)

\(\triangle f = f(x_{0}\triangle x) - f(x_{0}).\)

Найти производную можно, воспользовавшись специальными таблицами или вычислив ее по правилам:

1. \((u + v)' = u' + v'.\)

2. \((u \times v)' = u' \times v + u \times v'.\)

3. \((\frac{u}{v})' = \frac{u' \times v - u \times v'}{v^{2}}.\)

Примеры задач с решением

Решение:

\(f'(х)= 3x^{2} — 3х — 6.\)

Производная равна нулю, если x равен — 1 или 2.

2 не принадлежит отрезку, но — 1 — принадлежит.

Вычисляем значения критических точек:\( f(-1) = 4,5, f(-2) = - 1, f(0) = 1.\)

Ответ: на отрезке \([-2; 0]\) целые \( min f(x) = f(-2) = -1,\) \(max f(x) = f(-1) = 4.\)

Решение:

\(f'(х)= 6x^{2} - 24х + 18.\)

Производная равна нулю, если x равен 1 или 3.

3 не принадлежит отрезку, но 1 — принадлежит.

Вычисляем значения критических точек: \(f(1) = 11,\) \(f(-1) = - 29,\) \(f(2) = 7.\)

Ответ: на отрезке \([-1; 2]\) \(min f(x) = f(-2) = -29\), \(max f(x) = f(-1) = 11.\)