Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции — ключевые понятия

Понятие самого большого и самого малого значения производной функции используется для определения оптимального показателя некоторого параметра.

Допустим, X — это некоторое множество, включенное в область определения функции y=f(x).

Если упростить данные определения, то получим следующее: максимальное значение функции представляет собой наибольшее значение на известном промежутке при x₀, а минимальное — это наименьшее значение, которое принимает функция на известном промежутке при x₀.

Согласно теореме Ферма, данное понятие представляет собой такую точку, где расположены локальный минимум и максимум дифференцируемой функции или ее экстремум. Отсюда следует, что наименьшее и наибольшее значения y=f(x) будут достигнуты в одной из стационарных точек. 

Самое большое и самое маленькое значение функция может принимать в точках, где функция определена, а первой производной данной функции нет.

Наименьшее и наибольшее значения не всегда можно вычислить. К примеру, это невозможно при совпадении рубежей заданного интервала с рубежами области определения. Также максимальные и минимальные значения не получится определить, когда речь идет о бесконечном промежутке.

Кроме того, функция неизвестном отрезке или на бесконечном интервале будет принимать бесконечно малые либо бесконечно большие значения. Это значит, что наименьшее и наибольшее значения в этом случае невозможно рассчитать.

Как найти для отрезка, алгоритм вычисления

Отрезок представляет собой часть прямой, которая ограничена двумя точками. Возьмем точки a и b за концы заданного отрезка. Тогда необходимо найти max y=f(x₀) и min y=f(x₀) на промежутке [a,b].

Последовательность нахождения:

1. Проверка заданной функции f(x) на нужном участке [a,b] на прерывность.
2. При условии, что f(x) непрерывная, определить производную f’(x) и приравнять ее к 0.
3. Найти точки максимума и минимума, которые вычисляются при решении уравнения f’(x)=0.
4. Определить критические точки, которые находятся на отрезке [a,b].
5. Произвести вычисления значений f(x) в этих критических точках и в точках a и b. 
6. Самое большое и самое маленькое число среди вычисленных будет наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке [a,b].

Примеры решения задач

Задача 1

Дано: функция, заданная уравнением

f(x)=4x³-5x²-6

Найти max y=f(x₀) и min y=f(x₀) на промежутке [0,4].

Решение

1. Функция представляет собой кубический многочлен. Точки разрыва отсутствуют, следовательно, функция непрерывна на заданном промежутке [0, 4].

2. Найдем производную:

\(f'(x)=\left(4x^3-5x^2-6\right)'=12x^2-10x\)

3. Приравниваем найденную производную к нулю:

\(12x^2-10x=0\)

4. Решим полученное уравнение и определим критические точки:

\(12x^2-10x=0\)

\(2x\left(6x-5\right)=0\)

\(x_1=0,\;x_2=\frac56\)

5. Проверяем, принадлежат ли данные точки отрезку [0,4]:

\(x_1\in\left[0,4\right],\;x_2\in\left[0,4\right]\)

6. Поскольку обе критические точки находятся на заданном отрезке, то выполним расчет f(x) для этих точек и для границ промежутка [0,4]:

\(f(x_1)=f\left(b\right)=f(0)=4\times0^3-5\times0^2-6=-6\)

\(f(x_2)=f\left(\frac56\right)=4\times\frac56^3-5\times\frac56^2-6=\frac{4\times125}{216}-\frac{5\times25}{36}-6=\frac{500}{216}-\frac{125}{36}-6=\frac{500-750}{216}-6=-\frac{250}{216}-\frac{1296}{216}=-\frac{1546}{216}=-7\frac{34}{216}=-7\frac{17}{108}\)

\(f(b)=f\left(4\right)=4\times4^3-5\times4^2-6=4\times64-5\times16-6=256-80-6=170\)

Среди найденных чисел наибольшее значение равно 170, наименьшее значение \(-7\frac{17}{108}\)

Ответ: \(M=170\), \(m=-7\frac{17}{108}\).

Задача 2

Вычислить максимальное и минимальное значение функции на интервале [−4,4]. Функция задана уравнением:

\(f\left(x\right)=\frac{2x^2}{6+x^2}\)

Решение

1. Проверяем функцию на прерывность: f(x) является непрерывной, поскольку при любых x знаменатель не равен нулю. 

2. Находим производную:

\(f'\left(x\right)=\left(\frac{2x^2}{6+x^2}\right)'=\frac{\left(2x^2\right)'\left(6+x^2\right)-\left(2x^2\right)\left(6+x^2\right)'}{\left(6+x^2\right)^2}=\frac{4x\left(6+x^2\right)-\left(2x^2\right)\left(2x\right)}{\left(6+x^2\right)^2}=\frac{24x+4x^3-4x^3}{\left(6+x^2\right)^2}=\frac{24x}{\left(6+x^2\right)^2}\)

3. Приравняем образовавшуюся производную к 0 и вычислим крайние точки:

\(\frac{24x}{\left(6+x^2\right)^2}=0\)

\(24x=0;\;6+x^2\neq0\)

\(x=0\)

4. Единственная критическая точка лежит в пределах [−4,4].

5. Определим значения функции для x=−4, x=0 и x=4:

\(f(-4)=\frac{2\left(-4\right)^2}{6+\left(-4\right)^2}=\frac{32}{22}=1\frac{10}{22}=1\frac5{11}\)

\(f(0)=\frac{2\times0^2}{6+0^2}=\frac06=0\)

\(f(4)=\frac{2\times4^2}{6+4^2}=\frac{32}{22}=1\frac{10}{22}=1\frac5{11}\)

Ответ: \(M=1\frac5{11}\), \(m=0\).