Натуральные числа

Натуральные числа

Понятие натурального числа относится к первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия. Впервые термин употребил в VI веке римский математик Боэций, написавший книгу «О введении в арифметику».

История

Большинство народов в древности использовало для счета пальцы, что подтверждается названиями числительных в их языке. Сначала их примитивный счет ограничивался количеством пальцев, дальше шло понятие «много». Но еще до наступления нашей эры люди нашли способы оперировать сотнями и тысячами при подсчете, а также поняли, что с помощью числительных можно охарактеризовать не только количество предметов, но и их порядок, когда они расположены друг за другом.

Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя, например, инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».

Аксиомы Пеано

Девять аксиом итальянского математика Джузеппе Пеано, жившего в XIX веке, сделали для арифметики то же, что аксиомы Евклида — для планиметрии, геометрии плоскости, определив ее базовые концепции. В это время в математике начал развиваться аксиоматический метод.

Формулировки аксиом Пеано:

1. 1 является натуральным числом.
2. Для каждого натурального числа x x=x.
3. Для каждого натурального числа x и y — если x=y, то y=x.
4. Для каждого натурального числа x, y и z — если x=y и y=z, то x=z.
5. Для любых чисел a и b — если a является натуральным числом и a=b, то b также является натуральным.
6. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
7. 1 не следует ни за каким натуральным числом.
8. Если натуральное число а следует непосредственно за числом b и за числом с, то b=с.
9. Если какое-либо предложение доказано для 1, то предположим, что оно верно для натурального числа a. Из этого следует, что оно верно и для натурального числа, следующего за a. Значит, предложение верно для любого натурального числа.

Чтение натуральных чисел, классы

Чтобы читать большие числа, их разбивают на классы — группы по три цифры, начиная справа. Первые три цифры справа — класс единиц, следующие — класс тысяч, затем идет класс миллионов. Тысяча миллионов — миллиард, тысяча миллиардов — триллион или биллион.
Числа читают слева направо, называя число единиц каждого класса и добавляя его название. Класс единиц не называют. Если в каком-то классе все цифры являются нулями, его название не произносят.

Число будет читаться так: пятнадцать миллиардов триста восемьдесят девять миллионов двести восемьдесят шесть.

Сравнение натуральных чисел

В позиционной системе количественный эквивалент каждой цифры зависит от места ее записи в коде числа. Это значит, что числа можно сравнивать поразрядно, дополнив ведущими нулями до равной длины.

При сравнении натуральных чисел нужно посмотреть на количество цифр в каждом из них: большим окажется то, в котором цифр больше. Если количество цифр одинаковое, то их нужно сравнивать поразрядно слева направо. То число, в котором первый отличающийся разряд окажется больше, будет больше другого.

Разряды натурального числа, значение разряда

Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = \(10^1\), 100 = \(10^2\), 1000 = \(10^3\).

Место каждой цифры в числе называется разрядом, и цифра на один разряд левее обозначает число, большее в десять раз. Самый младший разряд, крайняя цифра справа — единицы, далее справа налево идут десятки, сотни, тысячи и т. д. Видя число 105, мы понимаем, что цифра 1 задает число сотен, 0 — число десятков, 5 — число единиц.

Арифметические действия над натуральными числами

Арифметические операции включают:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление.

Результатом сложения и умножения натуральных чисел в любом случае будет натуральное число — можно сказать, их множество замкнуто относительно сложения и умножения, любая операция над элементами ряда не выводит результат за его пределы.

В результате вычисления и деления натуральные числа получаются не всегда.

Также их сложение и умножение коммутативны и ассоциативны — это значит, что все элементы арифметического выражения при этих операциях можно перемещать относительно друг друга, а также группировать, используя скобки.

Для нахождения произведений однозначных натуральных чисел проще всего воспользоваться таблицей умножения. Чтобы ускорить расчеты, многозначные числа представляют в виде суммы разрядных слагаемых.

Тогда выражение будет выглядеть:

\((700\;+\;30\;+\;2)\;\;\times\;10.\)

Воспользовавшись сочетательным свойством умножения, получим:

\(7\;\times\;(100\;\times\;10)\;+\;3\;\times\;(10\;\times\;10)\;+\;2\;\times\;10\;=\;7320.\)

Факториал натурального числа — функция, определенная на множестве целых неотрицательных чисел, произведение всех натуральных чисел от единицы до названного числа включительно.

Обозначение факториала — восклицательный знак после числа. Факториал четырех записывается 4! и равен 1×2×3×4=24.

Округление натуральных чисел

Для округления числа нужно выбрать разряд, до которого округление будет производиться. Все цифры справа от него заменяются нулями. Цифра в выбранном разряде увеличивается на единицу, если справа от нее стояла цифра 5, 6, 7, 8 или 9.

Если справа была цифра 0, 1, 2, 3 или 4, цифра в выбранном разряде не меняется. Если в разряде, до которого производится округление, была цифра 9 и к ней необходимо прибавить единицу, тогда она заменяется нулем, а соседний старший разряд, цифра слева, увеличивается на единицу.