Площади и объемы многогранников

Что такое многогранник

Простейшей геометрической фигурой является прямая. Ею называется линия, которая имеет свое продолжение вправо и влево. Если эту прямую ограничить с двух сторон, получится отрезок. Для определения его величины достаточно одного измерения — длины. Прямая, ограниченная с одной стороны, имеет свое название. Это отрезок.

Источник: rusinfo.info

В пределах одной плоскости, кроме прямой, которую можно измерить одной величиной, существуют геометрические фигуры, измеряемые длиной и шириной. Это многоугольники.

Источник: sun9-19.userapi.com

Они могут иметь различное количество углов и характеризуются таким понятием как площадь.

Фигура, которая располагается в нескольких плоскостях, характеризуется пространственными величинами или трехмерным измерением. К таким фигурам относят многогранники.

Для полной характеристики многогранника необходимо назвать следующие свойства:

• стороны обязательно являются смежными с одной соседней стороной;
• при необходимости можно, начав движение от одного из многоугольников, достигнуть любого другого, используя принцип смежности;
• площадь поверхности многогранника равна сумме площадей многоугольников, ограничивающих фигуру.

При этом каждый многоугольник — это грань, сторона — ребро, а вершина — вершина многогранника.

 Многогранник, как геометрическое тело, может быть представлен несколькими параллелепипедами, которые соединены по одной из граней. В таком случае их площадь будет равна сумме площадей свободных сторон и одной стороны, по которой произошло соединение. Объем такого тела будет равен сумме объемов каждого из параллелепипедов.

Источник: examer.ru

Многогранники бывают:

• выпуклыми (каждая из точек фигуры находится по одну сторону от плоскости);
• невыпуклыми (не все точки располагаются по одну сторону плоскости).

Проще говоря, выпуклый многогранник можно поставить на одну из сторон, и он будет на ней «уверенно стоять». С невыпуклым такого действия совершить нельзя.

Как найти площадь: формулы

В зависимости от того, какой фигурой представлен многогранник, выбирают формулу для расчета площади его поверхности. Рассмотрим примеры.

1. Дана призма (многогранник, у которого в параллельных плоскостях расположены два многоугольника, являющихся гранями. Прочие грани представлены параллелограммами).

Источник: osiktakan.ru

Найти площадь данной фигуры можно следующим образом:

Источник: osiktakan.ru

2. Дан параллелепипед (один из вариантов призмы, все шесть граней которой являются параллелограммами).

Источник: osiktakan.ru

В этом случае S=2(ab+bc+ac)

3.Дана пирамида (вид многогранника с основанием в виде n-угольника и боковыми гранями по форме треугольниками. Обязательное условие: все треугольники имеют одну общую вершину, у которой есть свое название — вершина пирамиды).

Источник: osiktakan.ru

Площадь пирамиды можно найти по формуле:

Источник: osiktakan.ru

Источник: osiktakan.ru

 S_бок усеченной пирамиды находят по формуле:

Источник: osiktakan.ru

В стереометрии существует понятие правильного многогранника. Его вводят для фигур, у которых:

• все грани представлены правильными многоугольниками;
• число граней у всех углов идентично;
• ребра являются равными отрезками;
• величины плоских углов идентичны.

Перечисленным требованиям отвечают 5 видов многогранников, представленных в таблице:

Определить площадь правильных многогранников также несложно, зная следующие формулы (нумерация согласно строке таблицы):

1. S=a²√3

2. S=6a²

3. S=2a²√3

4. 

Источник: osiktakan.ru

5. S=5a²√3

Использовать данный формулы нужно в задачах, требующих определить площадь поверхности многогранника, без учета его внутреннего объема.

Объем многогранника: формулы

Объем многогранника, в отличие от площади его поверхности, не может быть определен только касательно поверхности. Ведь он представляет собой все внутреннее пространство, которое ограничивается имеющейся поверхностью. На практике говорят, что объем является величиной, с помощью которой описывают размер трехмерных фигур. Эти фигуры так и называют: объемные (тела). У объемной фигуры имеется не только длина и ширина, но и высота – параметр, измеряемый в третьей плоскости.

Решить задачи по определению объема многогранника также можно с использованием формул.

Рассмотрим следующий рисунок:

Источник: interneturok.ru

Объем такого тела определяется по формуле:

V=a*b*c

Поскольку по рисунку видно, что a*b=S, а c является высотой (h), то формулу можно записать в виде: V=S*h

Рассмотренный вариант касается прямоугольного параллелепипеда. Если же произвольный параллелепипед имеет наклонные вертикальные грани, то данная формула также верна, однако проведенная высота отличается от бокового ребра, и, возможно, лежит внутри либо вне самого тела:

Источник: interneturok.ru

Формула определения объема через площадь и высоту подходит и для такого трехмерного тела, как призма (причем как для прямой, так и наклонной):

Источник: interneturok.ru

В быту часто происходит образование новых многогранников в процессе обрезания кусков от старых и приставления их к уже имеющимся. Как же вычислить объем такого геометрического тела? В геометрии используется принцип Кавальери. Суть его в следующем. Площади прямоугольника и параллелограмма равны потому что они в своей структуре имеют отрезки одинакового размера. Проще говоря, если представить рассечение обеих фигур плоскостями, параллельными основанию, величина отрезка слева всегда будет равна величине отрезка справа. Если третья фигура имеет такое же строение, по ее площадь будет такой же.

Источник: interneturok.ru

Объем многогранника, который может быть разделен на два и более многогранников, может определяться суммой их объемов.

Источник: image2.slideserve.com

Для систематизации формул, применяемых для определения объемов многогранников, рассмотрим таблицу:

На практике определить объем трехмерного тела можно и без формулы. Например, найти объем призмы можно, если умножить площадь ее основания на высоту фигуры. При этом вариант, когда в основании призмы лежит треугольник, предполагает, что нужно найти его площадь. Если основание квадрат, на первом этапе — нахождение площади квадрата. Величину высоты определяем, опуская перпендикуляр к основанию.

Примеры решения задач

Источник: ege-study.ru

Искомая величина равна сумме площадей боковых граней этой пирамиды. 

Из вершин A и D проведем перпендикуляры к стороне BC. Тогда высота треугольника DBC — DK. 

Треугольник ABC является равнобедренным, поскольку AB=AC. Тогда высота AK, которую провели по направлению основания BC, совпадает с медианой. Соответственно BK=KC=5см.

Источник: ege-study.ru

Ответ: 192 см³

Поскольку смежные ребра посчитаны дважды, найденное количество необходимо разделить на два: 36/2=18

В+Г-Р=2

В+12-30=2

В+12-2=30

В+10=30

В=20

Ответ: вершин — 20, ребер — 30.

Решение.

Источник: famiredo.ru