Основные сведения об области определения логарифмической функции

Логарифм числа и его свойства

В качестве обозначения логарифма используют: \(\log _{a}b\)

Данную запись можно прочитать, как «логарифм b по основанию а».

Рассмотрим следующее равенство:

\(x=\log _{a}b\)

Согласно записанному ранее определению логарифма, получим, что данное соотношение является равносильным следующему:

\(a^{x}=b\)

В определении логарифма принято использовать числа а и b из множества вещественных чисел. В некоторых случаях применима теория комплексных логарифмов.

С помощью логарифмов удается значительно упростить решение многих задач. Например, в процессе перехода к логарифмическому уравнению умножение может быть заменено на операцию сложения, а вместо деления используют вычитания, также возведение в степень и извлечение корня трансформируются в умножение и деление на показатель степени соответственно.

Изобразим в качестве примера двоичный логарифм на графике:

Рассмотрим логарифм какого-то числа из множества вещественных:

\(x=\log _{a}b\)

Исходя из определения логарифма, данное соотношение представляет собой решение следующего уравнения:

\(a^{x}=b\)

В том случае, когда a=1 при \(b\neq 1\), у записанного уравнения отсутствуют решения. Если b=1, то в качестве решения можно представить любое число. Эти два варианта приводят к неопределенности логарифма. Таким же образом, можно сделать вывод об отсутствии логарифма, когда а принимает нулевое или отрицательное значение.

Зная, что показательная функция \(a^{x}\) во всех случаях положительна, исключим также случаи, при которых b имеет отрицательное значение. Обобщая вышесказанное, запишем: вещественный логарифм \(\log _{a}b\) обладает смыслом, если  \(a>0,a\neq 1,b>0.\)

Распространенными являются следующими виды логарифмов:

1. Натуральные: \(\log _{e}\,b\) или \(\ln \,b\) с основанием в виде числа Эйлера (e).
2. Десятичные: \(\log _{10}\,b\) или \(\lg \,b \) с основанием в виде числа 10.
3. Двоичные: \(\log_{2}\,b\) или \(\operatorname {lb}\,b\) с основанием 2, которые нашли применение в теории информации, информатике, в разных разделах дискретной математики.

Свойства логарифма удобно использовать при решении различных задач. Рассмотрим главное логарифмическое тождество.

Исходя из определения логарифма, можно вывести следующие справедливые равенства:

\(\log _{a}1=0\)

\(\log _{a}a=1.\)

Рассмотрим, как вычисляют логарифм произведения, частного от деления, степени и корня при положительных значениях переменных.

Произведение:

\(\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\)

К примеру:

\(\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\)

Частное от деления:

\(\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\)

Например:

\(\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3\)

Степень:

\(\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)\)

Докажем это равенство:

\(\log _{a}{x^{p}}=y\)

\(a^{y}=x^{p}{\displaystyle }a^{y}=x^{p}\)

\(a^{\frac {y}{p}}=x{\displaystyle }a^{\frac {y}{p}}=x\)

\(log_{a}{x}={\frac {y}{p}}{\displaystyle} log_{a}{x}={\frac {y}{p}}\)

\(p\cdot log_{a}{x}=y{\displaystyle} p\cdot log_{a}{x}=y\)

Применим данную формулу для решения примера:

\(\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6\)

Степень в основании:

\(\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}\)

Докажем, что записанное равенство является справедливым:

\(\log _{a^{p}}{x}=y\)

\(a^{y\cdot p}=x{\displaystyle} a^{y\cdot p}=x\)

\(log_{a}{x}=p\cdot y{\displaystyle} log_{a}{x}=p\cdot y\)

\(\frac {log_{a}{x}}{p}=y\)

В качестве примера упростим выражение:

\(\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1\)

Корень:

\(\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\)

Докажем данное свойство:

\(\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y\)

\(a^{y}={\sqrt[{p}]{x}}{\displaystyle} a^{y}={\sqrt[{p}]{x}}\)

\(a^{p\cdot y}=x{\displaystyle} a^{p\cdot y}=x\)

\(log_{a}{x}=p\cdot y{\displaystyle} log_{a}{x}=p\cdot y\)

\({\frac {log_{a}{x}}{p}}=y{\displaystyle} {\frac {log_{a}{x}}{p}}=y\)

Рассмотрим наглядный пример:

\(\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5\)

Корень в основании:

\(\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)\)

Представим доказательства:

\(\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y\)

\(a^{\frac {y}{p}}=x{\displaystyle} a^{\frac {y}{p}}=x\)

\(a^{y}=x^{p}{\displaystyle} a^{y}=x^{p}\)

\(a^{\frac {y}{p}}=x{\displaystyle} a^{\frac {y}{p}}=x\)

\(log_{a}{x}={\frac {y}{p}}{\displaystyle} log_{a}{x}={\frac {y}{p}}\)

\(p\cdot log_{a}{x}=y{\displaystyle} p\cdot log_{a}{x}=y\)

Применим записанное свойство на практике:

\(\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatorname {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{\left(4\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2\)

В том случае, когда переменная обладает отрицательным значением, следует обратиться к обобщенной записи перечисленных свойств логарифма:

\(\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|\)

\(\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|\)

Формулы для вычисления произведения допустимо обобщить с расчетом на любое число сомножителей:

\(\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})\)

\(\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\dots +\log _{a}|x_{n}|\)

Многозначные числа x, y можно умножать с помощью таблиц логарифмов таким образом:

• определить по таблице логарифмы x, y;
• суммировать полученные логарифмы, что соответствует (исходя из первого свойства логарифма) логарифму произведения x\cdot y;
• согласно логарифму произведения определить по таблице значение самого произведения.

Аналогичным способом выполняют деление. Только при этом вместо умножения применяют операцию вычитания, а алгоритм действий остается прежним.

Логарифм \(\log _{a}b\) по основанию a допустимо записать в виде логарифма по другому основанию c:

\(\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\)

Следствием из данной формулы, если b=c, является перестановка местами основания и логарифмируемого выражения:

\(\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\)

Обратим внимание на то, что коэффициент \({\frac {1}{\log _{c}a}}=\log _{a}c\) в рассматриваемом выражении замены основания носит названием модуля перехода от одного основания к другому.

При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифм \(\log _{a}{b}\) обладает положительным значение в том случае, когда a, b расположены с одной стороны относительно единицы, то есть оба больше, либо меньше по сравнению с 1. В противном случае логарифм имеет знак минуса.

Какое-либо неравенство в случае положительных чисел допустимо логарифмировать:

• при основании больше, чем единица, знак неравенства остается без изменений;
• при основании меньше, чем единица, знак неравенство нужно поменять на противоположный.

Существует тождество, которое поможет упростить действия, когда в основании или логарифмируемом выражении содержится степень:

\({\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}\)

Данное соотношение получают путем замены в левой части логарифма основания \(a^{q}\) на a по ранее рассмотренной формуле замены основания. Из этого справедливого равенства можно вывести следующее:

\(\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b\)

Другим полезным тождеством является:

\(c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}\)

В этом случае, можно заметить совпадение логарифмов слева и справа по основанию а, то есть являются равными \(\log _{a}b\cdot \log _{a}c\). По следствию из главного логарифмического тождества получим, что части слева и справа равны друг другу тождественно.

С помощью логарифмирования предыдущего тождества по какому-либо произвольно выбранному основанию d можно получить дополнительное тождество для замены оснований:

\(\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c.\)

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Областью определения данной функции являются такие значения, которые соответствуют интервалу:

\(a>0;\ a\neq 1;x>0.\)

Область значений логарифмической функции определена таким образом:

\(E(y) = (-\infty ;+\infty).\)

На графике логарифмическая функция имеет вид кривой, которую часто называют логарифмикой. Согласно формуле, с помощью которой осуществляют замену основания логарифма, сделаем вывод о том, что:

• графики логарифмических функций, имеющих разные основания, больше единицы, различаются по масштабу относительно оси y;
• графики логарифмических функций для оснований, меньших, чем единица, представляют собой их зеркальное отражение по отношению к горизонтальной оси.

Изобразим графики логарифмических функций:

Согласно определению, логарифмическая функция является обратной для показательной функции \(y=a^{x}\). По этой причине графические изображения данных функций будут симметричными по отношению к биссектрисе первого и третьего квадрантов. Обе эти функции трансцендентны.

Заметим следующие особенности логарифмической функции:

• строгое возрастание графика, если a>1;
• строгое убывание графика, если 0<a<1.

Графически изображенная логарифмическая функция в любом случае будет пересекать точку с координатами (1;0). Функция не прерывается и дифференцируется без ограничений на любом участке в рамках собственной области определений.

Ось ординат при x=0 представляет собой вертикальную асимптоту, так как:

• \(\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty\) при a>1;
• \(\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty\) при 0<a<1.

Производную логарифмической функции вычисляют по формуле:

\({\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}\)

Логарифмическая функция представляет собой непрерывное решение, которое считают единственно верным, для следующего функционального уравнения:

\(f(xy)=f(x)+f(y).\)

Свойства функции \(y={{log}_a x\ }\), при a >1:

1. Областью определения данной функции является интервал \((0,+\infty )\).
2. Значения функции определяются, как множество действительных чисел.
3. Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
4. График пересекает оси координат. С осью Oy точки пересечения отсутствуют. Если \(y=0\), \({{log}_a x\ }=0,\ x=1\). Функция пересекается с осью Ox в точке (1,0).
5. Функция является положительной, если \(x\in (1,+\infty )\). Функция является отрицательной в том случае, когда \(x\in (0,1)\).
6. \(y'=\frac{1}{xlna}\).
7. Точки минимума и максимума: \(\frac{1}{xlna}=0\), при этом корни отсутствуют, то есть максимальные и минимальные точки также отсутствуют.
8. Функция является возрастающей на всей области определения.
9. \(y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}\).
10. Промежутки выпуклости и вогнутости: \(-\frac{1}{x^2lna}\). Функция является выпуклой на всей области, в которой определяется.
11. \({\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty.\)

Рассмотрим свойства функции \(y={{log}_a x\ }, 0 < a < 1:\)

1. Функция определяется на интервале \((0,+\infty).\)
2. Значениями функции являются все числа из множества действительных.
3. Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
4. Отсутствуют пересечения графика с осью Oy. Если \(y=0, {{log}_a x\ }=0,\ x=1\).Функция пересекает ось Ox в точке с координатами: (1,0).
5. Функция является положительной, если \(x\in (0,1)\). Функция является отрицательной в том случае, когда \(x\in (1,+\infty).\)
6. \(y'=\frac{1}{xlna}.\)
7. Точки минимума и максимума: \( \frac{1}{xlna}=0\); в этом случае корни отсутствуют — значит, отсутствуют максимальные и минимальные точки.
8. Функция является убывающей на всей области, в которой она определена.
9. \(y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}\).
10. Промежутки выпуклости и вогнутости: \( -\frac{1}{x^2lna}>0\). Функция является вогнутой на всей области, в которой она определена.
11. \(\mathop{lim}_{x\to 0} y\ =+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty\).

Область определения функции с корнем

По определению, логарифмическая функция имеет вид:

\(y=\log _{a} x,\; a,\, x>0,\; a\ne 1.\)

В случае логарифмической функции, в том числе, с корнем квадратным, дробью со знаменателем, отличным от нуля, область определения соответствует какому-либо числу со знаком плюс из множества действительных чисел:

\(D\left(\log _{a} x\right):x\in \left(0;\; +\infty \right)\)

Рассмотрим несколько примеров логарифмических функций, чтобы узнать область их определений:

\(y=\log _{ \frac{2}{3} } x;\)

\(y=\log _{ \sqrt{5}} x;\)

\(y=\log _{7} x.\)

Областью определения записанных логарифмических функций, в том числе, с корнем, является интервал \((0, +\infty)\).

Попробуем решить задачу. Здесь требуется искать область определения в случае функции:

\(f(x)=\frac{1}{ln(x+3)}\)

Условия следующие:

х + 3 > 0

\(x + 3 \neq 1\)

Тогда:

х > -3

\(x \neq -2\)

Тогда область определения соответствует следующим значениям:

\(D(f) = (-3, -2) \cup (-2, +\infty).\)

Примеры решения задач