Область значения функции

Что такое функция в алгебре

Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.

Область значений функции вместе с областью ее определения формирует границы для отображения данной функции в виде графика.

Виды функций

Для каждой функции, в зависимости от ее структуры, область значений будет своя. Рассмотрим основные виды элементарных математических функций.

Линейная

\(y=k\cdot x+b\)

Область значений включает в себя все действительные числа: \(E(f)=(-\infty;\;+\infty).\)

Обратная пропорциональность

\(y=\frac kx\)

Согласно свойств данной функции, \(k\neq0\), так как в этом случае ее график вместо гиперболы приобретает вид прямой линии, проходящей по оси ординат за исключением точки (0; 0). Исходя из этого, условия, область значений функции обратной пропорциональности включает в себя все действительные числа, кроме нуля:

\(E(f)=(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).\)

Квадратичная (квадратная)

\(y=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)

В ее основе лежит стандартный квадратный трехчлен \(a\cdot x^2+b\cdot x+c\), причем \( a\neq0\), так как иначе функция сокращается до линейной. В общем виде область значений квадратичной функции ограничивается вершиной параболы, которая является ее графиком.

Координата вершины \(y_0\) рассчитывается так:

\(y_0=-\frac{b^2-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}.\)

Область значений зависит от коэффициента a:

• если a>0: \(E(f)=\lbrack y_0;\;+\infty)\)
• если a<0: \(E(f)=(-\infty;\;y_0\rbrack\)

Квадратную функцияю y=x^2 можно рассматривать как частный случай квадратичной или степенной функций. Так как при возведении числа в четную степень результат будет всегда положительным, область значений для нее следующая:

\(\mathrm E(\mathrm f)=\lbrack0;\;+\infty) \)

Степенная

\(y=x^n\)

Область значений степенной функции зависит от того, к какому числовому множеству относится показатель степени n:

1. Если \(\mathrm n\in\mathbb{N}\), то есть является натуральным числом (за исключением нуля), то область значений включает в себя все действительные числа: \( \mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty).\)
2. Если \(\mathrm n\in\mathbb{R}\), то есть относится к действительным числам, то область значений степенной функции сужается: \(\mathrm E(\mathrm f)=(0;\;+\infty)\).

Показательная

\(\mathrm y=\mathrm a^{\mathrm x}\)

Для показательной функции существует одно определяющее условие: \(\mathrm a>0\). В связи с этим область ее значений включает в себя все положительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(0;\;+\infty) \)

Логарифмическая

\(\mathrm y=\log_{\mathrm a}\left(\mathrm x\right)\)

По своим свойствам логарифмическая функция обратна показательной. Для данных функций область определения и область значений меняются местами соответственно. ОЗ логарифмической функции включает в себя все действительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty)\)

Тригонометрические

Рассмотрим четыре базовые тригонометрические функции:

• синус;
• косинус;
• тангенс;
• котангенс.

Первые две периодически повторяются в промежутке между -1 и 1:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-1;\;1)\)

Область значения тангенса и котангенса включает в себя все действительные числа:

\(\mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty)\)

Типы функций

При определении области значений функции необходимо учитывать ее фундаментальные особенности. Обозначенная выше классификация — не единственная. У математических функций есть некоторые параметры, которые влияют как на саму область значений, так и на выбор методики ее нахождения.

Важные свойства

К наиболее важным для поиска области значений функции относят следующие ее свойства:

1. Непрерывность. Непрерывной называется функция, на графике которой нет «точек разрыва». Таким точкам соответствуют значения переменной, при которых функция не имеет смысла, то есть — исключенные из области определения.
2. Монотонность. Монотонной называется функция, которая не возрастает или не убывает на всей области определения.
3. Четность. Четной называется функция, не меняющая своего значения при смене знака переменной. То есть, f(-x)=f(x). Соответственно, нечетная функция меняет значение. Выделяют также функции общего вида, которые не симметричны относительно центра или оси координат.
4. Периодичность. Периодическая функция повторяет свои значения через определенные равные интервалы значений переменной.

Методы нахождения

Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.

Перебор значений

Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел \(x\in(a;\;b)\). В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.

Графический метод

Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику.

Учет непрерывности и монотонности

Данный метод вытекает из предыдущего и позволяет делать некоторые прогнозы об области значений функции исходя из ее свойств. Если на графике видно, что функция не прерывается и монотонно убывает или возрастает на определенном промежутке, можно предположить, что эта тенденция сохранится и дальше.

Например, график квадратичной функции f(x)=x^2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем \(x\in\lbrack-4;\;4\rbrack\):

Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения

На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке \(\lbrack-4;\;0\rbrack\) и монотонно возрастает на промежутке\( \lbrack0;\;4\rbrack\). Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:

\(\mathrm E(\mathrm f)=\lbrack0;\;+\infty)\)

Производная, min и max

Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.

Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными. Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:

• если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
• если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
• если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.

Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:

Если \(f''(x_1)>0\), то \(x_1\) — точка минимума.

Если \(f''(x_1)<0\), то \(x_1\) — точка максимума.

Пример решения

Задача

Дана функция \(y=x^4-2\cdot x^2-5\). Найти область ее значений.

Решение:

Так как функция не относится к элементарным и по условию задачи область поиска не ограничена, воспользуемся методом нахождения точек минимума и максимума.

Найдем производную данной функции y', воспользовавшись формулами из таблицы производных:

\(y'=4\cdot x^3-4\cdot x\)

Согласно теореме Ферма, в точках экстремума производная равняется нулю.

Начнем решать полученное уравнение:

\(4\cdot x^3-4\cdot x=0\)

\(4\cdot x\cdot(x^2-1)=0\)

\(4\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x+1)=0\)

Так как уравнение равняется нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, разобьем его на три составляющие:

1. \(4\cdot x=0\)
2. \(x-1=0\)
3. \(x+1=0\)

Получим следующие результаты:

\(x_1=0\)

\(x_2=1\)

\(x_3=-1\)

Данные точки являются критическими. В итоге мы имеем четыре промежутка:

\((-\infty;\;-1\rbrack,\;\lbrack-1;\;0\rbrack,\;\lbrack0;\;1\rbrack\;и\;\lbrack1;\;+\infty).\)

Чтобы понять, какие из точек являются минимальными и максимальными, необходимо взять по числу из каждого промежутка и решить производную \(y'=4\cdot x^3-4\cdot x \)относительно них. Сам результат вычислений не важен, учитывать нужно только знак: (+) или (-).

Возьмем \(x_1^\ast=-2;\;x_2^\ast=-0.5;\;x_3^\ast=0.5;\;x_4^\ast=2.\)

На первом и третьем промежутках производная принимает отрицательное значение, на втором и четвертом — положительное. Следовательно, найденные ранее точки \(x_1=-1\;и\;x_3=1\) являются точками минимума, а точка \(x_2=1\) — точкой максимума. Это еще не окончательный результат, так как необходимо понять, на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Согласно определению, в точка минимума функция переходит от убывания к возрастанию, а в точке максимума — наоборот. Таким образом, на промежутке \((-\infty;\;-1\rbrack \) функция монотонно убывает и монотонно возрастает на промежутке \(\lbrack1;\;+\infty)\). Из этого следует, что точка \(x_2=1\) является лишь локальным экстремумом. Значит, область значений функции \(y=x^4-2\cdot x^2-5\) не ограничивается ей.

Чтобы вычислить минимальное значение, подставляем полученные точки минимума в изначальное выражение. Получаем \(y_{min}=-6\).

Область определения функции \(y=x^4-2\cdot x^2-5\) следующая:

\(E(y)=\lbrack-6;\;+\infty).\)