Как найти обратную матрицу методом Гаусса

Понятие обратной матрицы

Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными. 

Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами. 

Свойства обратных матриц

1. Обратное значение обратной матрицы A⁻¹ эквивалентно исходной матрице A: (A⁻¹)⁻¹=A.
2. Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A⁻¹: |A|=1/|A⁻¹|.
3. Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A⁻¹ и обратного значения коэффициента λ, то есть (λ×A)⁻¹=A⁻¹/λ.
4. Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B)⁻¹=B⁻¹×A⁻¹.
5. Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A⁻¹)^T=(A^T)⁻¹.

Метод Гаусса для решения

1. Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
2. Можно решать системы уравнений со следующими условиями:

• при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
• при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
• при определителе, равном 0.

3. Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.

Алгоритм решения

Исходная матрица имеет вид:

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\)

Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:

1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right.\right)\)

2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса. Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&5\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right.\right)\)

3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:

\(\left(\begin{array}{cc}1&2\\0&-1\end{array}\left|\begin{array}{cc}0&1\\1&-3\end{array}\right.\right)\)

4. Данный шаг правила Гаусса именуют методом Жордана-Гаусса. В единичной диагонали, полученной в итоге предыдущих манипуляций, обнулим верхние правые элементы. Обнуление производится путем сложения верхней и удвоенной нижней строк:

\(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\left|\begin{array}{cc}2&-5\\1&-3\end{array}\right.\right)\)

Теперь выполним деление нижней строки на −1:

\(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\left|\begin{array}{cc}2&-5\\-1&3\end{array}\right.\right)\)

Инверсия исходной матрицы A, будет выглядеть так:

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\)

Решение задач методом Гаусса

Пример

Найти инверсию матрицы третьего порядка:

\(A=\begin{pmatrix}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{pmatrix}\)

Решение:

1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:

\(\left(\begin{array}{ccc}2&3&7\\1&-5&2\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)

Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.

2. Первую и вторую строку поменяем местами:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\2&3&7\\3&-1&9\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right.\right)\)

3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&13&3\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-2&0\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)

4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&-1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&1&-1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)

5. Выполним умножение второй строки на −1:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-5&2\\0&1&0\\0&14&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-1&-1&1\\0&-3&1\end{array}\right.\right)\)

6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\14&11&-13\end{array}\right.\right)\)

7. Произведем деление третьей строки на 3:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&5\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{array}\right.\right)\)

8. Сложим первую строку с умноженной на −2 третьей:

\(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}\frac{-43}3&\frac{-34}3&\frac{41}3\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{array}\right.\right)\)

Значит, инверсия матрицы A равна:

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{-43}3&\frac{-34}3&\frac{41}3\\-1&-1&1\\\frac{14}3&\frac{11}3&\frac{-13}3\end{pmatrix}\)