Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения

Допустимые и недопустимые значения переменных

Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».

Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.

Например, для функции обратной пропорциональности \(y=\frac1x\) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, \(\sqrt{126}\), — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, \(-\infty \)и \(+\infty\), так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.

Что такое ОДЗ

Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, \(y=\frac1x\), область допустимых значений будет иметь следующий вид: \((-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty)\). Это значит, что в область определения функции \( y=\frac1x\) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — \(\cup\) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.

Как найти ОДЗ: примеры, решения

Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.

Общие принципы нахождения области допустимых значений

• деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: \(y=\frac50;\)
• извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: \(y=\sqrt{-11};\)
• возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: \(y=0^{-3};\;y=0^0;\;y=({-7}^{\textstyle\frac32});\;y=({-6}^{-{\textstyle\frac17}});\)
• нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:\( y=\log_3\left(-9\right);\;y=\log_2\left(0\right);\;y=\log_{-4}\left(64\right);\;y=\log_1\left(5\right);\)
• тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.
  
  Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — \(\lbrack-1;\;1\rbrack.\)

Примеры нахождения ОДЗ

Пример №1. Найти область определения функции \(y=\sqrt{1-x^2}\)

Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2\geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: \(1-x^2\geq0\Rightarrow1\geq x^2\Rightarrow x^2\leq1\)

Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:

\(x^2\leq1\Rightarrow\sqrt{x^2}\leq\sqrt1\Rightarrow\left|x\right|\leq1\)

Раскроем модуль согласно правилу:

\(\left|x\right|\leq1\Rightarrow-1\leq x\leq1\)

Из этого следует, что область допустимых значений функции \(y=\sqrt{1-x^2}\) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: \(x\in\lbrack-1;\;1\rbrack\)

Пример №2. Найти ОДЗ функции \(y=\lg\left(x\right)\)

\(\lg\left(x\right)\) является краткой формой записи десятичного логарифма \(\log_{10}\left(x\right)\). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции \(y=\lg\left(x\right)\) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до \(+\infty\). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: \(x\in(0;\;+\infty)\).

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований

Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.

Функции, для которых важна ОДЗ

Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная \(y=k\cdot x+b\) или квадратичная \(y=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.

ОДЗ обратной зависимости

Функция обратной пропорциональности \(y=\frac kx\) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: \(x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).\)

ОДЗ степенной функции

Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:

• при n>0 и \(n\in\mathbb{Z}\), то есть n — целое положительное число: \( x\in(-\infty;\;+\infty);\)
• для n>0, причем n — дробное число: \( x\in\lbrack0;\;+\infty);\)
• для n=0:\( x\in(-\infty;0)\cup(0;\;+\infty);\)
• при n<0 и \(n\in\mathbb{Z}: x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty);\)
• для n<0, причем n — дробное число: \(x\in(0;\;+\infty).\)

ОДЗ показательной функции

Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:

• для a>0: \(x\in(-\infty;\;+\infty);\)
• для a=0: \(x\in(0;\;+\infty);\)
• для a<0: \(x\in(-\infty;\;+\infty)\), причем x должен быть целым числом.

ОДЗ логарифмической функции

Логарифмическая функция \(y=\log_a\left(x\right)\) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: \(x\in(0;\;+\infty).\)

ОДЗ тригонометрических функций

Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: \(x\in(-\infty;\;+\infty)\). Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:

• тангенс: \(x\in(-\infty;\;\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm\pi\cdot\mathrm n)\cup(\frac{\mathrm\pi}2+\mathrm\pi\cdot\mathrm n;\;+\infty), где n\in\mathbb{Z};\)
• котангенс: \(x\in(-\infty;\;\mathrm\pi\cdot\mathrm n)\cup(\mathrm\pi\cdot\mathrm n;\;+\infty), где n\in\mathbb{Z};\)
• арксинус и арккосинус: \(x\in\lbrack-1;\;1\rbrack.\)