Что называется осевой симметрией

Что такое осевая симметрия в геометрии 

Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – S_n, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:

S_n (А) = В.

Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.

Свойства осевой симметрии

1. Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
2. Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
3. Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
4. Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.

Теорема и доказательство

Если отрезок MN симметричен отрезку M₁N₁  относительно прямой a, то MN = M₁N₁. 

Чтобы доказать, что MN = M₁N₁, сделаем дополнительные построения:

• P – это точка пересечения MM₁ и прямой a;
• Q – это точка пересечения NN₁ и прямой a; 
• построим отрезок MK, перпендикулярный NN₁;
• тогда точка K отразится в точку K₁.

Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M₁N₁K₁ равны. Стороны MN и M₁N₁ являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.

МК = М₁К₁ , так как перпендикулярны к параллельным прямым.

По построению:

NK = NQ – KQ,

N₁K₁ = N₁Q – K₁Q. 

Точка N отобразилась в точку N₁,  значит:

NK = N₁K₁.

Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть  MN = M₁N₁, что и требовалось доказать.

Фигуры, обладающие симметрией

Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.

Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:

• AO – общая сторона
• Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
• Треугольники KAO и MAO прямоугольные,

Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.

Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.

Симметрия в повседневной жизни

Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы. 

Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.

Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.

Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.