Основное логарифмическое тождество

Логарифмы и их свойства

В случае \(\log_ab\), а будет основанием, а b — аргументом. Тогда логарифм числа b по основанию a будет являться обратной функцией показательного уравнения b = a^x.

Важно помнить несколько условий:

• основание a обязано быть положительным числом и не должно быть равно единице (a>0, a≠1);
• число b обязано быть больше нуля (b>0), потому что в случае отрицательного значения, корня уравнения (x) не будет существовать.

Рассмотрим прочие свойства логарифмов. 

1. Сложение логарифмов при одинаковом основании можно упростить до логарифма произведения: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(b⋅c).\)
2. Вычитание логарифмов с одинаковыми основаниями можно упростить до логарифма частного: \(\log_ab-\log_ac=\log_abc.\)
3. Формулировка свойства логарифмической единицы выглядит следующим образом — логарифм единицы будет равен нулю в случае любого \(a\;>\;0\;,\;a\;\neq\;1. \)Доказательство этого свойства не сложное — \(a^0\;=\;1\) для любого a, которые удовлетворяет упомянутым выше условиям, тогда \(\log_a1\;=\;0.\)
4. Логарифм числа, равного основанию, равняется единице, таким образом \(\log_aа\;=\;1.\)
5. Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, будет соответствовать показателю степени. Формула этого свойства выглядит следующим образом: \(\log_aa^p\;=\;p\), где p — любое действительное число.
6. Логарифм произведения двух положительных чисел можно упростить до произведения логарифмов этих чисел: \(\log_a(x\cdot y)\;=\;\log_ax\;+\;\log_ay.\)

Как выглядит формула, в чем суть

Формула основного логарифмического тожества выглядит следующим образом:

\(a^{\log_ab}\;=\;b\)

В соответствии с этой формулой, \(log_ab\) представляет собой степень, в которую необходимо возвести число а, чтобы в результате получить число b.

То есть при подстановке числе тожество будет выглядеть так:

\(2^{\log_23}\;=\;3 \)

Рассмотрим доказательство того, что  \(3^{\log_25}\;=\;5^{\log_23}\)

\(3^{\log_25}\;=\;{(2^{\log_23}\;)}^{\log_25}\;=\;2^{\log_23\;\cdot\log_25}\;=\;{(2^{\log_25}\;)}^{\log_23}\;=\;5^{\log_23}\;\)

Пример с решением

Решим \(2^{2\log_417}\;\)

\(2^{2\log_417}\;=\;{(2^2)}^{\log_417}\;=\;4^{\log_417}\;=\;17\)

\(2^{3\log_875}\)

\(2^{3\log_875}\;=\;{(2^3)}^{\log_875}\;=\;8^{\log_875}\;=\;75\)

\(125^{\log_52}\)

\(125^{\log_52}\;={(5^3)}^{\log_52}\;=\;{(5^{log_52})}^3\;=\;2^3\;=\;8\)

При данном решении имело место применение не только основного логарифмического тождества, но и формулы возведения степени в степень:\( {(a^m)}^n\;=\;a^{mn}\;=\;{(a^n)}^m\)