Формула нахождения периметра параллелограмма

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

  • противоположные стороны равны и параллельны;
  • противоположные углы попарно равны;
  • сумма соседних углов равна 180 градусов;
  • сумма всех углов равна 360 градусов;
  • диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
  • точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
Свойства параллелограмма
Источник: egemaximum.ru
  • биссектриса образует равнобедренный треугольник.
Биссектриса
Источник: egemaximum.ru

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Периметр по сумме всех сторон
Источник: microexcel.ru

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

По стороне и двум диагоналям
 

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

\(a=\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,\)

где \(d_1\) и \(d_2\) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

\(P=2(\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).\)

По стороне, высоте и синусу угла

По стороне, высоте и углу
Источник: ru.onlinemschool.com

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

\(a=\frac{h_b}{\sin\alpha}\)

где \(h_b\) — высота, проведенная к известной стороне, а \(sin\alpha\) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

\(P=2(\frac{h_b}{\sin\alpha}+b)\)

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

\(P=2(\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)\)

Подставляем известные значения:

\(P=2(\frac{\sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(\frac{\sqrt{2\times6^2+2\times8^2-4\times4^2}}2+4)=2(\frac{\sqrt{72+128-64}}2+4)=2(\frac{2\sqrt{34}}2+4)=2\sqrt{34}+8\) см.

Ответ:\( 2\sqrt{34}+8\) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b 1 см, а угол α равен \(\frac\pi6\). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

\(P=2(\frac{h_b}{\sin\alpha}+b)\)

Подставим известные величины:

\(P=2(\frac1{\sin{\displaystyle\frac\pi6}}+2)=2(\frac1{\displaystyle\frac12}+2)=8\;\)см.

Ответ: 8 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.83 (Голосов: 6)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»