Как найти периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть, составляют 90 градусов. Частным случаем прямоугольника могут быть квадрат или ромб.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его ребер.

Основные свойства прямоугольника:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • противоположные стороны фигуры равны и параллельны друг другу;
  • сумма всех углов равна 360 градусов;
  • диагонали прямоугольника равны по длине и точкой пересечения делятся пополам;
  • диагонали делят фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника;
  • по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних ребер;
  • стороны рассматриваемого четырехугольника также являются его высотами;
  • точка пересечения диагоналей — это центр прямоугольника и также центр вписанной окружности;
  • диагональ этого четырехугольника — это диаметр описанной окружности;
  • вокруг него всегда можно описать окружность.

Варианты нахождения периметра прямоугольника

По сторонам

Периметр по сторонам
Источник: center-pss.ru

Если нам известны все стороны прямоугольника (или две смежные), мы можем использовать следующую формулу для нахождения суммы длин всех ребер:

\(P=2(a+b)\)

где \(a\) и \(b\) — это две соседние стороны фигуры.

По любой стороне и площади

По любой стороне и площади
Источник: lifehacker.ru

Зная значение любого из ребер четырехугольника и его площадь, мы можем найти значение второго и периметр фигуры.

Так как площадь прямоугольника — это произведение двух его смежных сторон \((S=a\times b)\), чтобы найти неизвестную сторону, нужно поделить площадь на известную величину: \(b=\frac Sa\).

Получается, что формула для расчета \(P\) рассматриваемой фигуры будет выглядеть следующим образом:

\(P=2(\frac Sa+a)\)

По любой стороне и диагонали

По стороне и диагонали
Источник: lifehacker.ru

В случае, если мы знаем длину одного из ребер и диагональ данного четырехугольника, мы можем найти вторую сторону с помощью теоремы Пифагора.

\(b=\sqrt{d^2-a^2}\)

где \(d\)диагональ прямоугольника, а \(b\) неизвестная сторона.

Чтобы рассчитать сумму длин всех сторон, нужно воспользоваться формулой:

\(P=2(a+\sqrt{d^2-a^2})\)

По любой стороне и радиусу описанной окружности

По стороне и радиусу
Источник: lifehacker.ru

Когда нам известна одна из сторон и радиус описанной окружности вокруг прямоугольника, мы можем узнать его неизвестное ребро. Из свойств прямоугольника помним, что точка пересечения диагоналей фигуры — это центр описанной окружности. Это значит, что 1/2 диагонали — это радиус этой окружности. Таким образом, по теореме Пифагора мы можем узнать неизвестную сторону прямоугольника:

\(b=\sqrt{4R^2-a^2}\)

где \(R\)радиус описанной окружности.

Тогда формула для расчета P будет выглядеть так:

\(P=2(a+\sqrt{4R^2-a^2})\)

Примеры решения задач

Задача 1

Известно, что стороны прямоугольника равны 5 см и 7 см. Найти его периметр.

Решение:

Применяем самую первую формулу для расчета:

\(P=2(a+b)\)

Получается:

\(P=2(5+7)=24\) см

Ответ: 24 см.

Задача 2

Мы знаем, что площадь четырехугольника с прямыми углами составляет 24 \(см^2\), одна из его сторон равна 6 см. Вычислить Р фигуры.

Решение:

Берем формулу \(P=2(\frac Sa+a)\) и подставляем известные значения:

\(P=2(\frac{24}6+6)=2\times10=20\) см

Ответ: 20 см.

Задача 3

Дан прямоугольник со стороной 3 см и диагональю 5 см. Нужно высчитать P данной фигуры.

Решение:

Вспоминаем формулу для расчета \(P=2(a+\sqrt{d^2-a^2})\) и вставляем известные величины:

\(P=2\;(3+\sqrt{5^2-3^2})=2(3+\sqrt{25-9})=2\times7=14\) см

Ответ: 14 см.

Задача 4

Вокруг прямоугольника с ребром 3 см описали окружность с радиусом 5 см. Определить P заданной фигуры.

Решение:

В этом случае для расчета суммы длин всех сторон применяем формулу \(P=2(a+\sqrt{4R^2-a^2})\). Используем известные значения и получаем:

\(P=2\;(3+\sqrt{4\times5^2-3^2})=2(3+\sqrt{100-9})=2(3+\sqrt{91})=6+2\sqrt{91}\) см.

Ответ: \(6+2\sqrt{91}\) см.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»