Первообразная функция и неопределенный интеграл

Что такое первообразная функция и неопределенный интеграл

Функция F(x) может считаться первообразной для y=f(x), если первая функция дифференцируема в каждой точке промежутка (a;b) и ее производная удовлетворяет уравнению F'(x)=f(x).

Таким образом, представленные выше понятия связаны друг с другом как часть и целое.

Сущность первообразной функции

Понятие первообразной имеет еще одно определение.

Когда говорят о первообразной, упоминают также об интегрировании. Дело в том, что, чтобы отыскать значения всех рассматриваемых функций, пользуются интегрированием. При этом немаловажную роль играет признак постоянства функции.

Перечислим свойства рассматриваемого понятия:

1. Любую первообразную можно записать как F(x)+C, где последний компонент означает произвольную постоянную.
2. Первообразная для f на промежутке I получится в любом случае, какое бы мы не подставили туда число.
3. Всегда возможно подобрать такое число С, что для всех х из выбранного промежутка будет справедливо уравнение Ф(х)=F(x)+C, какое бы значение для первообразной мы не подобрали.

Выделяют несколько основных правил для вычисления рассматриваемого понятия. 

1. Если F — это первообразная для одной функции, а G — для другой, то сумма первых будет равна сумме вторых, то есть \((F+G)'=F'+G'=f+g\), где последние две переменные есть функции.
2. Если F — первообразная, а k — постоянная, тогда произведение данных понятий будет равняться первообразной для функции k, умноженное на f. То есть \((k×F)'=k×F'=k×f\). 
3. Если F(x) — это первообразная, а k и b — постоянные, не равные нулю, тогда \(\frac1k\times F\times\left(k\times x+b\right)\) станет первообразной для функции\( f(k×x+b)\). То есть\( \left(\left(\frac1k\right)\times F\times\left(k\times x+b\right)\right)'=\left(\frac1k\right)\times F'\left(k\times x+b\right)\times k=f\left(k\times x+b\right)\).

Свойства неопределенного интеграла

Свойства НИ в виде выражений:

1. \(\int\lbrack f\left(x\right)+g\left(x\right)\rbrack dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx.\)
2. \(\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx.\)
3. \(\int f\left(ax\right)dx=\frac1aF\left(ax\right)+C.\)
4. \(\int f\left(ax+b\right)dx=\frac1aF\left(ax+b\right)+C.\)

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Приведем простейшие табличные значения первообразных:

Теперь представим таблицу неопределенных интегралов:

Примеры решения

Чтобы точнее разобраться с рассматриваемыми терминами, приведем несколько примеров решения задач.

Задача №1

Вычислить \(\int\left(\sqrt x+\sqrt[3]x\right)dx.\)

Решение

\(\int\left(\sqrt x+\sqrt[3]x\right)dx=\int\sqrt xdx+\int\sqrt[3]xdx=\int x^\frac12dx+\int x^\frac13dx=\frac{x^{{\displaystyle\frac12}+1}}{{\displaystyle\frac12}+1}+\frac{x^{\displaystyle\frac13+1}}{\displaystyle\frac13+1}+C=\frac{2x^{\displaystyle\frac32}}3+\frac{3x^{\displaystyle\frac43}}4=\frac{2\sqrt{x^3}}3+\frac{3\sqrt[3]{x^4}}4+C\)

Ответ: \(\int\left(\sqrt x+\sqrt[3]x\right)dx=\frac{2\sqrt{x^3}}3+\frac{3\sqrt[3]{x^4}}4+C.\)

Задача №2

Вычислить \( \int\frac{4dx}{2+3x^2}.\)

Решение

\(\int\frac{4dx}{2+3x^2}=4\int\frac{dx}{3\left({\displaystyle\frac23}+x^2\right)}=\frac43\int\frac{dx}{\left(\sqrt{\displaystyle\frac23}\right)^2+x^2}=\frac43\times\frac1{\sqrt{\displaystyle\frac23}}arc\tan\frac x{\sqrt{\displaystyle\frac23}}+C=\frac4{\sqrt6}arc\tan\frac{\sqrt3x}{\sqrt2}+C\)

Ответ: \( \int\frac{4dx}{2+3x^2}=\frac4{\sqrt6}arc\tan\frac{\sqrt3x}{\sqrt2}+C.\)