Площадь равнобедренного треугольника

Параметры для расчета

Рассчитать площадь можно с помощью нескольких способов. Для начала приведем обозначения, которые будут использоваться в последующих формулах.

• а — длина одной из двух равных сторон треугольника;
• b — длина основания;
• \(\alpha\) — величина одного из двух равных углов при основании;
• \(\beta\) — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию;
• h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание.

Особенности вычислений, зная длину основания и высоту

Рассмотрим треугольник ABC. Если опустить из вершины В высоту, то мы получим два прямоугольных треугольника. Тогда \(S=\frac{h\times AC}2.\)

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 13 см, а основание равно 10 см.

Найти: площадь равнобедренного треугольника.

Решение

Применим теорему Пифагора. Опустим из вершины B на основание AC высоту BK. Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна:

\(AK=\frac{AC}2=\frac{10}2=5\)

Высота с половиной основания и стороной образует прямоугольный ΔABK. В нем нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Тогда можно узнать высоту:

\(h=\sqrt{\left(13^2-5^2\right)}=\sqrt{144}=12\)

Площадь исходного ΔABC будет равна площади ΔABK и ΔCBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а поскольку BK одновременно является и биссектрисой, и высотой, то соответствующие углы тоже равны. Поэтому нам будет достаточно измерить площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

\(S=\frac{AK\times BK}2=\frac{5\times12}2=30\)

Поскольку в составе ΔABC два равных ΔABK и ΔCBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:

\(30\times2=60\)

Ответ: \(S=60\;см^2.\)

Площадь равнобедренного треугольника по трём сторонам

Для нахождения S с помощью сторон, нужно воспользоваться формулой Герона:

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Для этого равенства важно знать полупериметр:

\(p=\frac{a+b+c}2\)

Задача

Вычислить S ΔOMN, если OM=3 MN=3 NO=3.

Решение

\(p=\frac{a+b+c}2\)

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{4,5\left(4,5-3\right)\left(4,5-3\right)\left(4,5-3\right)}=\sqrt{4,5\times1,5\times1,5\times1,5}=15,1875\)

Ответ: \(S=15,1875\;см^2.\)

Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними

В таком случае S будет находиться, как половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами.

Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна \(\alpha\times\sin\;\beta\). Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника.

То есть формула будет такая же, как и в первом способе:

\(S=\frac{h\times AC}2\)

Задача

Стороны треугольника равны \(2\sqrt2\) и \(3\), S=3.

Найти: третью сторону.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, то есть:

\(3=\frac12\times3\times2\sqrt2\times\sin\;\alpha\)

Отсюда находим, что6

\(\sin\;\alpha=\frac1{\sqrt2}\)

Тогда:

\(\left|\cos\;\alpha\right|=\frac1{\sqrt2}\)

Возможны два случая: \(\alpha=45^\circ\) или \(\alpha=135^\circ.\)

В каждом из них найдём третью сторону по теореме косинусов:

\(a^2=\left(2\sqrt2\right)^2+3^2\pm2\times2\sqrt2\times3\times\frac1{\sqrt2}=8+9\pm12=17\pm12\)

Следовательно, \(a=\sqrt{29}\) или \(a=\sqrt5.\)

Ответ: \(a=\sqrt{29}\) или \(a=\sqrt5.\)

Формула для расчета, зная длину основания и угол при основании

Тогда S рассчитывается как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами.

Если присмотреться, то станет очевидно, что половина основания, умноженная на tg, даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой, то tg — это отношение половины основания к высоте \(\frac{{\displaystyle\frac12}b}h.\)

Откуда \(h=\frac b{2tg\;{\displaystyle\frac b2}}.\)

В итоге формула снова будет сведена к более простой:

\(S=\frac{h\times AC}2\)

Задача

В ΔABC AC=2, а \(\angle\alpha=45^\circ.\)

Найти: S ΔABC.

Решение

Подставим данные значения в формулу и получим:

\(S=\frac{b^2}4tg\;\alpha=\frac{2^2}4tg\;45^\circ=\frac44\times1=1\)

Ответ: \(S=1\;см^2\).

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы

Если известна одна сторона треугольника и два прилежащих к ней угла, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина квадрата данной стороны умноженная на дробь, в числителе которой, произведение синусов прилежащих углов, а в знаменателе синус угла, который лежит напротив.

Противолежащий угол можно сосчитать по формуле:

\(\gamma=180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)\)

Тогда площадь будет равна:

\(S=\frac12\times a^2\times\frac{\sin\;\left(\beta\right)\;\sin\;\left(\gamma\right)}{\sin\;\left(\alpha\right)}\)

Задача

В ΔCDE CE=4, \(\angle\alpha=45^\circ,\;\angle\gamma=45^\circ.\)

Найти: S ΔCDE.

Решение

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то чтобы найти оставшийся угол, нужно из 180° вычесть 45° и 45°.

Получим 90°. Следует вписать данные значения в формулу, и тогда мы получим:

\(S=\frac12\times a^2\times\frac{\sin\;\left(\beta\right)\;\sin\;\left(\gamma\right)}{\sin\;\left(\alpha\right)}=\frac12\times4^2\times\frac{\sin\;\left(45\right)\;\sin\;\left(45\right)}{\sin\;\left(90\right)}=\frac12\times16\times\frac{{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\times{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}}1=8\times\frac12=4.\)

Ответ: \(S=4\;см^2.\)