Построение треугольника по трем элементам в геометрии

Как построить треугольник по трем элементам в геометрии

В определении треугольника точки представляют собой вершины, а отрезки — являются его сторонами.

При определении расстояния от точки до прямой необходимо учитывать нескольких ключевых принципов:

1. В том случае, когда из точки С к прямой а проведена перпендикулярная линия СА, все другие отрезки, которые проведены из этой точки к прямой, называют наклонными.
2. Перпендикуляр, который проведен из точки к прямой, меньше, чем любая наклонная, проведенная из той же точки к данной прямой, так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
3. Длина перпендикуляра, который проведен из точки к прямой, является расстоянием от этой точки до прямой.

Определить расстояние, на которое удалены друг от друга параллельные прямые, можно, исходя из того, что каждая из точек этих прямых равноудалена от другой параллельной прямой. Таким образом, расстояние между двумя параллельными прямыми соответствует длине перпендикуляра, который опущен из какой-либо точки, расположенной на одной прямой, на другую прямую.

При построении треугольника по трем элементам необходимо использовать следующие навыки:

• построение окружности при известном центре и радиусе;
• определение отрезка на заданном луче, равного данному;
• построение угла, равного данному;
• определение биссектрисы угла;
• построение перпендикулярной прямой;
• определение середины отрезка.

Какие элементы могут быть для этого использованы

Смысл задачи на построение какой-либо геометрической фигуры заключается в том, что требуется с помощью линейки и циркуля построить тот или иной объект, согласно заданным исходным условиям. Общие принципы решения подобных заданий:

1. Анализ условий. Эта стадия предусматривает установление взаимосвязей между начальными условиями и объектом, который требуется построить. По итогам составляют алгоритм построения.
2. Построение. Исходя из разработанного плана, необходимо построить геометрическую фигуру.
3. Доказательство. В процессе нужно доказать соответствие изображенной фигуры условиям задачи.
4. Изучение. Данный этап предполагает анализ исходных данных и определение условий, при которых задание имеет единственное решение, обладает несколькими решениями, не имеет ни одного ответа.

Построение треугольника по трем сторонам

Изобразить данную геометрическую фигуру с тремя углами можно по трем ее сторонам. Предположим, что существуют отрезки a, b, c, которые соответствуют сторонам искомого треугольника. По условиям задания требуется построить треугольник со сторонами, соответствующими рассматриваемым отрезкам.

В первую очередь следует доказать неравенство треугольника, то есть определить, что длина любого из отрезков меньше, чем сумма длин двух других отрезков. В случае удовлетворения этого условия допустимо, что рассматриваемые отрезки являются сторонами треугольника.

Алгоритм действий:

• построение прямой;
• отложение отрезка на прямой от заданной точки А, равного данному отрезку а, и определение другого конца отрезка В;
• построение окружности с центром в точке А и радиусом, который соответствует отрезку b;
• изображение окружности с центром В и радиусом, который соответствует отрезку С;
• точка, в которой пересекаются окружности, представляет собой третью вершину треугольника.

Исходя из признака равенства треугольников по трем сторонам, изображенный треугольник совпадает со всеми треугольниками, обладающими данными сторонами.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Предположим, что существуют два отрезка a и b, которые соответствуют сторонам треугольника. Также имеется угол 1, который равен углу треугольника, расположенного между его сторонами. Необходимо изобразить треугольник с элементами, аналогичными тем, что даны в условии.

Порядок действий при построении треугольника по двум сторонам и углу между ними следующий:

• проведение прямой;
• отложение отрезка на прямой от заданной точки А, который соответствует отрезку а из условия задания;
• построение угла, равного углу 1, таким образом, что вершина угла А и одна из сторон угла расположены на прямой;
• на другой стороне угла определить отрезок, который соответствует заданному отрезку b;
• соединить концы изображенных отрезков.

Исходя из признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, геометрическая фигура, построенная в соответствии с алгоритмом, равна всем треугольникам, которые обладают такими же элементами.

По известной стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, начинается с изучения условий задания. Согласно задаче, имеется отрезок а и пара углов 1 и 2, которые равны углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Требуется изобразить треугольник с элементами, аналогичными заданному отрезку и углам.

Действия необходимо выполнять в следующем порядке:

• провести прямую;
• на данной прямой изобразить отрезок, который соответствует отрезку а и начинается в точке А, а также отметить другой его конец в точке В;
• определить угол, соответствующий углу 1, таким образом, что вершина угла А и одна из его сторон расположены на прямой;
• построить угол, равный углу 2, так, чтобы вершина угла В и одна сторона угла лежали на прямой;
• точка, в которой пересекаются другие стороны углов, представляет собой третью вершину искомого треугольника.

По признаку равенства треугольников по стороне и паре углов, которые прилегают к ней, изображенный треугольник равен всем треугольникам, имеющим данные элементы.

Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля

Изобразить треугольник, зная три его элемента, можно с помощью циркуля. К примеру, имеется три стороны в виде отрезков МК, ОЕ, FG, по которым необходимо построить треугольник АВС. При этом должно соблюдаться условие:

АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ

Используя линейку, следует провести прямую а. На данной прямой с помощью циркуля нужно отложить отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В процессе на прямой а можно отметить некую точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Строить окружность полностью нет необходимости, достаточно изобразить дугу, как показано на рисунке. Точку, в которой окружность пересекает прямую а можно обозначить, как В.

С помощью циркуля нужно измерить отрезок ОЕ и построить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус соответствует отрезку ОЕ. Дуга выделена на изображении синим цветом.

На следующем этапе, используя циркуль, можно измерить отрезок FG, чтобы построить окружность. Центр данной окружности совпадает с точкой В, а ее радиус соответствует отрезку FG. На рисунке дуга выделена зеленым цветом.

Точка, в которой пересекаются окружности с центрами А и В, радиусами ОЕ и FG, следует обозначить, как С. С помощью линейки удобно соединить точки А, В и С. В результате получилось построить геометрическую фигуру в виде треугольника АВС, в котором:

АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ

Так как условия задания соблюдены, изображенный треугольник является искомым.

Изобразить треугольник с помощью циркуля можно, когда известны две стороны и угол между ними. К примеру, существуют отрезки МК и ОЕ, а также угол hk. Необходимо построить треугольник АВС при условии, что:

АВ = МК, АС = ОЕ,  ВАС = hk

Используя линейку, нужно провести прямую а и отложить на ней циркулем отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В данном случае необходимо в любой части прямой а поставить точку А. Далее с помощью циркуля можно измерить отрезок МК и построить окружность с центром в точке А и радиусом, равным МК. Точку, в которой окружность пересекает прямую, можно обозначить, как В. На рисунке дуга данной окружности выделена красным цветом.

На втором этапе требуется изобразить угол BAF, который соответствует углу hk. В процессе, используя циркуль, нужно построить окружность с радиусом МК и центром, который совпадает с вершиной угла hk. Допустимо изобразить лишь дугу этой окружности, которая на рисунке отмечена красным цветом. Точки, в которых окружность пересекает стороны угла hk, следует обозначить, как N и P.

Циркулем можно измерить длину отрезка NP и построить окружность с радиусом NP и центром в точке В. На изображении полученная дуга выделена синим цветом. Точкой F следует обозначить точку, в которой построенная окружность пересекает окружность с радиусом МК и центром в точке А.

Далее нужно построить луч AF, используя обычную линейку.

Затем с помощью циркуля удобно измерить отрезок ОЕ и построить с соответствующим радиусом окружность, центр которой совпадает с точкой А. На рисунке дуга этой окружности изображена зеленым цветом. Точка С является точкой, в которой пересекается окружность с лучом AF.

В конце следует соединить точки В и С с помощью линейки. В результате удалось построить треугольник АВС, в котором:

АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk

Таким образом, условия задания выполнены, и треугольник является искомым.

При построении треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, можно воспользоваться линейкой и циркулем.

К примеру, по условию задачи имеется отрезок МК, а также пара углов 1 и 2. Требуется изобразить такой треугольник АВС, в котором:

АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2

Решение задачи следует начинать с построения прямой а при помощи обычной линейки. Используя циркуль, можно отметить на этой прямой отрезок АВ, который совпадает по длине с отрезком МК. На прямой а нужно поставить точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Окружность не обязательно строить полностью, достаточно дуги, представленной на рисунке красным цветом. Точка В будет обозначать точку пересечения окружности и прямой а.

Второй шаг заключается в построении угла BAF, который идентичен углу 1. При этом, используя циркуль, следует изобразить окружность с радиусом МК и центром, совпадающим с вершиной угла 1. На изображении дуга показана красным цветом. Точки, в которых пересекаются окружность и стороны угла 1, можно обозначить за N и P.

Циркулем удобно измерить длину отрезка NP. Далее остается построить окружность с радиусом, соответствующим данному отрезку, и центром в точке В. На изображении такая окружность выделена синим цветом. Точкой F можно обозначить точку, в которой пересекается окружность радиуса NP с окружностью радиуса МК с центром в точке А.

Затем необходимо построить луч АF, используя линейку.

На следующем шаге можно изобразить угол АВD, который соответствует углу 2. В процессе следует, применяя циркуль, начертить окружность с радиусом МК и центром, который соответствует вершине угла 2. На рисунке дуга данной окружности обозначена красным цветом. Точки О и Е соответствуют местам пересечений построенной окружности со сторонами угла 2.

Затем нужно циркулем построить окружность с радиусом МК и центром в точке В, которая отмечена красным цветом на изображении. Далее необходимо определить, какова длина отрезка ОЕ, и построить окружность с соответствующим радиусом и центром в точке А. На рисунке дуга этой окружности выделена синим цветом. Точка D является точкой, в которой пересекаются построенные окружности.

С помощью линейки нужно отметить луч BD.

Точку, в которой пересекаются лучи AF и BD, можно обозначить С. В результате построен треугольник АВС, который соответствует следующим условиям:

АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2

Можно сделать вывод, что изображенный треугольник является искомым.

Решение задач на построение треугольника по трем элементам

Задача 1

Существует некая сторона треугольника ВС, к которой прилегают углы \alpha и \beta. Необходимо построить треугольник по трем известным элементам.

Решение

Пусть углы треугольника АВС соответствуют следующему условию:

К = \alpha

М = \beta

Можно составить план действий, согласно стандартному алгоритму:

1. Построить прямую а и отмерить на ней отрезок ВС.
2. Начертить угол К с вершиной В на стороне ВС.
3. Изобразить угол М с вершиной С на стороне ВС.
4. На пересечении лучей изображенных углов получить точку А, соединить ее с точками С и В для получения отрезков АС и АВ.

Построим треугольник:

В процессе доказательства следует рассмотреть изображение треугольника. Можно прийти к выводу, что условия задачи выполнены. Заданные углы могут быть построены и в противоположную сторону, соответственно можно изобразить второй треугольник. Однако, так как он аналогичен первому, можно заключить, что задача имеет единственное решение. В том случае, когда углы \alpha и \beta равны или больше, чем 180 градусов, задача не имеет решения.

Задача 2

Даны три стороны треугольника АВ, АС и ВС. Необходимо построить треугольник.

Решение

В процессе анализа условий задания можно составить план решения:

1. Начертить прямую а и отметить на ней отрезок АВ.
2. Используя циркуль, изобразить пару окружностей. Одна из них имеет радиус АС и центр в точке А, а вторая — радиус ВС и центр в точке В.
3. Точку, где пересекаются данные окружности, можно обозначить С. Далее следует соединить точку С с точками А и В. В результате получаются отрезки АС и ВС.
4. Затем остается построить треугольник.

Полученная геометрическая фигура соответствует условиям задачи. Изображенные окружности обладают двумя точками пересечения, что позволяет построить еще один треугольник. Он будет аналогичен первому, поэтому у задачи есть одно единственное решение. С учетом того, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей его стороны, можно заключить следующее: при невыполнении данного условия для заданных сторон задача не будет иметь решение.

Задача 3

У треугольника имеется две стороны АВ и АС, а также угол \alpha между ними. Требуется изобразить треугольник.

Решение

Порядок действий следующий:

• начертить прямую а, отметить отрезок АВ;
• отмерить угол МАВ, соответствующий углу \alpha;
• отложить отрезок АС на прямой АМ;
• начертить третью сторону треугольника СВ, соединив точки В и С.

В результате получится треугольник:

Согласно изображенной геометрической фигуре, можно сделать вывод о выполнении условий задания. Прямая а является бесконечной. По этой причине можно начертить множество подобных треугольников. Исходя из того, что все они будут одинаковы, сделаем вывод о единственном решении задачи. В том случае, когда угол \alpha будет равен или больше 180 градусов, у задания не будет ответа, так как сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов.